Π-теорема


Π-теорема

π-теорема — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение эквивалентно выражению, включающему множество из p = n — k безразмерных величин, построенных из исходных переменных. Это позволяет вычислять множество безразмерных величин по данным физическим значениям, даже если неизвестно выражение, связывающее эти значения. Способ выбора множества безразмерных параметров не единственный: π-теорема демонстрирует, как это можно сделать, но не обеспечивает, что полученные параметры будут наиболее «физически значимыми».

Содержание

История

π-теорема, идеи которой были впервые методически изложены Н. А. Морозовым в монографии «Основы качественного физико-математического анализа и новые физические факторы, обнаруживаемые им в различных явлениях природы» (1908)., была опубликована Эдгаром Бакингемом (англ.) в 1917 году, а впоследствии и обобщена Германом Вейлем в 1926. Поэтому за рубежом она именуется «теорема Бакингема» (см. интервики), либо «теорема Ваши-Бакингема».

Теорема

Если дано физически значимое выражение:

 f ( q_1, q_2, \ldots , q_n ) = 0 ,

где qi — это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:

 F ( {\pi}_1, {\pi}_2, \ldots , {\pi}_p ) = 0 ,

где πi — это безразмерные параметры, полученные из qi при помощи p = n — k выражений следующего вида:

 {\pi}_i = {q_1}^{m_1} \cdot {q_2}^{m_2} \cdot \ldots \cdot {q_n}^{m_n} ,

где показатели степеней mi — это рациональные числа.

Доказательство

Дана система из n разменных величин (физических величин) в k (физических) измерениях. Запишем матрицу M. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент (i, j) этой матрицы соответствует степени i-го множителя в формуле размерности j-й физической величины. Матрица может быть проинтерпретирована следующим образом: столбцу

\left[ \begin{array}{ccc}
{m_1} \\
{m_2} \\
\vdots \\
{m_n} \end{array} \right]

соответствует запись

 {q_1}^{m_1} \cdot {q_2}^{m_2} \cdot \ldots \cdot {q_n}^{m_n}

Очевидно, что безразмерным величинам соответствуют нулевые столбцы матрицы. Эти столбцы являются линейными комбинациями столбцов, соответствующих размерным величинам.

Как известно, любая система из n векторов в k-мерном линейном пространстве удовлетворяет системе из p = n — k отношений. И любой её базис будет состоять из p элементов, которым соответствуют безразмерные величины.

Безразмерные величины всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы быть целочисленной комбинацией размерных величин. Это математический, иногда несамый лучший способ определения безразмерных величин. Некоторые способы выбора безразмерных величин более физически значимы (например, имеют смысл отношения характерных сил), и они должны использоваться в идеале.

См. также

Библиография

  • Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345—376.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Π-теорема" в других словарях:

  • Теорема Ирншоу — сформулирована в XIX веке английским физиком Ирншоу. Является следствием теоремы Гаусса. Теорема Ирншоу чисто классическая (не квантовая) теорема и не имеет квантового аналога (подробности см. ниже). Содержание …   Википедия

  • Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Минковского о многогранниках — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями и площадями граней. Теорема единственности Минковского: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено …   Википедия

  • Теорема Больцано — Теорема Больцано  Вейерштрасса, или лемма Больцано  Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Александрова о выпуклых многогранниках — геометрическая теорема о единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями граней, доказанная А.Д. Александровым в 1937 году[1],[2],[3]. Обычно её формулируют так: Теорема Александрова о выпуклых многогранниках: Если… …   Википедия

  • Теорема Тебо — три теоремы планиметрии, приписываемые Тебо. Содержание 1 Теорема Тебо 1 …   Википедия

  • Теорема Новикова о компактном слое — Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой. Содержание 1 Теорема Новикова о компактном слое на сфере …   Википедия

  • Теорема Эйлера для многогранников —   теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере. Содержание 1 Формулировка 2 История 3 См. также …   Википедия

  • Теорема Асколи — Арцела — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Теорема о циркуляции магнитного поля — Теорема о циркуляции магнитного поля  одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и …   Википедия

  • Теорема Бликера — Из развёртки выпуклого многогранника с треугольными гранями всегда можно сложить невыпуклый многогранник с большим объёмом. Теорема доказана Дэвидом Бликером (англ. David Dudley Bleecker) в 1996 г. Ссылки «Увеличение объёма …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.