Sh x

Sh x

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

Определение

Определение гиперболических функций через гиперболу
Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается sinhx)
  • гиперболический косинус:
\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается coshx)
  • гиперболический тангенс:
\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} (в зарубежной литературе обозначается tanhx).
  • гиперболический котангенс:
\operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x},

Иногда также определяются

  • гиперболические секанс и косеканс:
\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x},
\operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x}.

Геометрическое определение

Ввиду соотношения \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x2y2 = 1 (x=\operatorname{ch}t, y=\operatorname{sh}t). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.


\operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad
\operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad
\operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix)
.

\operatorname{sh}(ix) = i\operatorname{sin}x,\quad
\operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad
\operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x
.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные тождества

  1. \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1
  2. Чётность:
    1. \operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x
    2. \operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x
    3. \operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x
  3. Формулы сложения:
    1. \operatorname{sh}(x+y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y+\operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x
    2. \operatorname{ch}(x+y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y+\operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x
  4. Формулы двойного угла:
    1. \operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}
    2. \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}
    3. \operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}
  5. Формулы понижения степени
    1. \operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}
    2. \operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}
  1. Производные:
    1. (\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x
    2. (\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x
    3. (\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}
    4. \operatorname{sh}x=\int^x_0\operatorname{ch}xdx
    5. \operatorname{ch}x=1+\int^x_0\operatorname{sh}xdx
    6. \operatorname{th}x=\int^x_0\frac{dx}{\operatorname{ch}^2x}
  2. Интегралы:
    1. \int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C
    2. \int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C
    3. \int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C
    4. \int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C
    5. \int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C
См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

Разложение в степенные ряды

\operatorname{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\operatorname{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}
\operatorname{cth}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi (Ряд Лорана)

Здесь B2n — числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iπ(n + 1 / 2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iπn, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

\operatorname{Arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) — обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус: \operatorname{sh}(\operatorname{Arsh}x)=x.
\operatorname{Arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1 — обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
\operatorname{Arth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) — обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
\operatorname{Arcth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) — обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
\operatorname{Arsch}x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) — обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.
\operatorname{Arcsch}x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right. — обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.

Графики

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

\operatorname{Arsh}x=-i\arcsin(-ix),
\operatorname{Arsh}(ix)=i\arcsin x,
\arcsin x=-i\operatorname{Arsh}(ix),
\arcsin (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

\operatorname{Arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;
\operatorname{Arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;
\operatorname{Arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1.

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, \operatorname{Arth}\,x пишут как \operatorname{tanh}^{-1}x (причём (\operatorname{tanh}\,x)^{-1} обозначает другую функцию — \operatorname{cth}\,x), и т. д.

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения \operatorname{Sh} и \operatorname{Ch}. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения \operatorname{sinhyp}, \operatorname{coshyp}, в русскоязычной литературе закрепились обозначения \operatorname{sh}, \operatorname{ch}, в англоязычной закрепились sinh,cosh, .

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида \begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y=\mathop{\mathrm{ch}}\,x (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Жаргонные названия

В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:[1]

  • \operatorname{sh}x — «ши́нус», «чи́нус», «сихинус».
  • \operatorname{ch}x — «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чихо́нус».
  • \operatorname{th}x — «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
  • \operatorname{cth}x — «кочангенс», «кота́хинус».

Литература

  • Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

Примечания

  1. Физтеховский сленг и жаргон

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»