Произвольный разрыв

Произвольный разрыв

Произвольный разрыв — произвольный скачок параметров сплошной среды, то есть ситуация, когда слева от некоторой поверхности заданы одни параметры состояния среды (к примеру, в газовой динамике — плотность, температура и скорость — (\rho_1,T_1,\vec v_1), а справа — другие (\rho_2,T_2,\vec v_2). При нестационарном движении среды поверхности разрыва не остаются неподвижными, их скорость может не совпадать со скоростью движения среды.

Физически произвольный разрыв не может существовать в течение конечного времени — это потребовало бы нарушения уравнений динамики. По этой причине, если в какой-то ситуации возникло состояние, описываемое произвольным разрывом, оно сразу же по возникновении начинает распадаться — см. задача Римана о распаде произвольного разрыва. При этом, в зависимости от того, в какой среде происходит явление, и как соотносятся между собой значения переменных состояния по разные стороны от разрыва, могут возникнуть различные комбинации нормальных разрывов и волн разрежения.

Содержание

Условия

ниже квадратными скобками обозначена разность величин по разные стороны поверхности

На поверхностях разрыва должны выполняться определенные соотношения:

  1. На поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества. Поток газа через элемент поверхности разрыва, отнесенный на единицу площади, должен быть одинаковым по величине по разные стороны от поверхности разрыва, то есть должно выполняться условие
    \left[ \rho u_x \right] = 0
      Направление оси x выбрано нормальным к поверхности разрыва.
  2. Должен быть непрерывным поток энергии, то есть должно выпол-няться условие
    \left[ \rho u_x \left( \frac{u^2}{2} + \varepsilon \right) \right] = 0
  3. Должен быть непрерывен поток импульса, должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Так как вектор нормали направлен по оси x, то непрерывность x-компоненты потока импульса приводит к условию
    \left[ p + \rho u_x^2 \right] = 0
    • Непрерывность z и y-компонент дает
    \left[ \rho u_x u_y \right] = 0 и \left[ \rho u_x u_z \right] = 0

Уравнения выше представляют полную систему граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно сделать вывод о существовании двух типов поверхностей разрыва.

Тангенциальные разрывы

Через поверхность разрыва нет потока вещества


\begin{cases}
\rho_1 u_{1x} = \rho_2 u_{2x}  = 0 \\
\rho_1, \rho_2 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow \qquad u_{1x} =  u_{2x} = 0 \qquad  \Rightarrow  p_1 = p_2

Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа. Тангенциальные скорости u_z, u_y и плотность могут испытывать произвольный скачок. Такие разрывы называются тангенциальными.


Контактные разрывы — частный случай тангенциальных разрывов. Скорость непрерывна. Плотность испытывает скачок, а с ней и другие термодинамические величины за исключением давления.

Ударные волны

Во втором случае поток вещества, а с ним и величины отличны от нуля. Тогда из условий:


\left[    \rho u_x \right]  =   0; \qquad
 \left[   \rho u_x u_y \right] =   0 ; \qquad
  \left[  \rho  u_x u_z \right]  =  0

имеем:

\left[ u_y \right] =0 \quad    и    \quad \left[ u_z \right] = 0

тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность, давление, а с ними и другие термодинамические величины испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями — условиями разрыва.

Из


\left[ \rho u_x \left( \frac{u^2}{2} + \varepsilon \right) \right];

 \left[ u_y \right] = 0;

 \left[ u_z \right] = 0

получим


\left[    \rho u_x \right]  =   0; 
\qquad
 \left[  \frac{u_x^2}{2} + \varepsilon \right] =   0;
\qquad
  \left[  p + \rho u_x^2  \right]  =  0

Разрывы этого типа называют ударными волнами.

Скорость распространения разрыва

Для вывода соотношений на движущихся разрывах можно воспользоваться уравнениями


\begin{cases} 
	\begin{array}{lll}
		\oint\limits_{\partial \Omega} (\rho\;d\,x - \rho u\;d\,t )& = & 0 \\
		\oint\limits_{\partial \Omega} (\rho u \;d\,x - (p + \rho u^2)\;d\,t )& = & 0 \\
		\oint\limits_{\partial \Omega} (E\;d\,x - (p + E)\;d\,t )& = & 0 \\
	\end{array} 
\end{cases}

полученными с помощью метода Годунова. Она же:

 \oint\limits_{\partial \Omega} (q dx -  f d t)  = 0

Газодинамический разрыв в одномерном нестационарном случае геометрически представляет собой кривую в плоскости. Построим контрольный объем возле разрыва так чтобы две стороны контура, охватывающего этот объем, располагались параллельно разрыву по обеим сторонам разрыва, а две другие стороны были перпендикулярны разрыву. Записывая систему для данного контрольного объема, затем стягивая боковые стороны к нулю и пренебрегая величиной интеграла на этих сторонах, получим с учетом направления обхода контура и знаков приращений координат и вдоль сторон примыкающих к разрыву:

 \int\limits_{1-2} (q dx -  f d t) - \int\limits_{3-4} (q dx -  f d t) = 0

Значит

 \int\limits_{1-2} (q \frac{d x}{d t} -  f ) - \int\limits_{3-4} (q \frac{d x}{d t} -  f ) = 0

Величина D = \frac{d x}{d t} — скорость распространения разрыва

Соотношения на разрыве

Переходя к аппроксимациям интегралов по методу прямоугольников и используя обозначения для скачков величин на разрыве, получим систему соотношений:

 
 \left[\rho \right]D -  \left[\rho u \right] = 0;
 
  \left[\rho u \right]D -  \left[p - \rho u^2 \right] = 0;
 
 \left [E \right]D -  \left[u(E + p)\right] = 0;

Примеры

Граница между двумя соударяющимися телами в момент соударения, в дальнейшем, в силу неустойчивости, произвольный разрыв распадается на два нормальных разрыва, движущихся в противоположные стороны.



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Произвольный разрыв" в других словарях:

  • Разрыв — Разрыв  нарушение непрерывности, целостности, повреждение. Например: Разрыв первого рода и второго рода у функций Произвольный разрыв в механике сплошных сред Разрыв  повреждение мягких тканей организма Геологический разлом, или разрыв… …   Википедия

  • Бельцов, Александр Семенович — врач писатель; родился в 1853, ум. 15 декабря 1888 года в Петербурге; происходил из дворян Рязанской губернии и образование получил сначала в Рязанской гимназии, а затем в С. Петербургской Медико Хирургической Академии, курс которой окончил в… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Тагенциальные разрывы — в аэро и гидродинамике разрывы гидродинамические, в которых отсутствует протекание вещества через поверхность разрыва. Т. р. в отличие от ударных волн всегда отделяют одну часть среды от другой. В Т. р. давление p и нормальная к поверхности… …   Энциклопедия техники

  • тангенциальные разрывы — в аэро и гидродинамике — разрывы гидродинамические, в которых отсутствует протекание вещества через поверхность разрыва. Т. р. в отличие от ударных волн всегда отделяют одну часть среды от другой. В Т. р. давление p и нормальная к… …   Энциклопедия «Авиация»

  • тангенциальные разрывы — в аэро и гидродинамике — разрывы гидродинамические, в которых отсутствует протекание вещества через поверхность разрыва. Т. р. в отличие от ударных волн всегда отделяют одну часть среды от другой. В Т. р. давление p и нормальная к… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Бельцов Александр Семенович — Бельцов (Александр Семенович) хирург, родился в 1853 г. в Рязанской губернии. По окончании гимназического курса в 1870 году, Бельцов поступил в Медико Хирургическую академию, где и окончил курс лекарем в 1876 году с отличием, награжден премией… …   Биографический словарь

  • Бельцов — (Александр Семенович) хирург; род. в 1853 г. в Рязанской губернии. По окончании гимназического курса в 1870 году, Б. поступил в медико хирургическую академию, где и окончил курс лекарем в 1876 году с отличием, награжден премией Иванова и по… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • КАШЕЛЬ — – произвольный или непроизвольный (рефлекторный) толчкообразный форсированный звучный выдох. Физиологическая роль кашля состоит в очищении дыхательных путей от секрета и от веществ, попавших в них извне. Как проявление патологического (иногда –… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • Плечевой сустав — I Плечевой сустав (articulatio humeri) шаровидный сустав, образованный головкой плечевой кости и суставной впадиной лопатки. Суставная поверхность лопатки окружена кольцом фиброзного хряща так называемой суставной губой. Через полость сустава… …   Медицинская энциклопедия

  • ГОСТ Р 53636-2009: Целлюлоза, бумага, картон. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 53636 2009: Целлюлоза, бумага, картон. Термины и определения оригинал документа: 3.4.49 абсолютно сухая масса: Масса бумаги, картона или целлюлозы после высушивания при температуре (105 ± 2) °С до постоянной массы в условиях,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»