Распределение вероятностей


Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Содержание

Определение

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R}. В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства (\Omega, \mathcal{F}) в измеримое пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), где \mathcal{B}(\mathbb{R}) обозначает борелевскую сигма-алгебру на \mathbb{R}. Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R} следующим образом:

\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Мера \mathbb{P}^X называется распределением случайной величины X. Иными словами, \mathbb{P}^X(B)=\mathbb{P}(X\in B), таким образом \mathbb{P}^X(B) задаёт вероятность того, что случайная величина X попадает во множество B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Способы задания распределений

Определение 2. Функция F_X(x) = \mathbb{P}^X((-\infty,x]) = \mathbb{P}(X \leqslant x) называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины X. Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения F_X(x) любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

  1. F_X — функция неубывающая;
  2. \lim_{x\to -\infty} F_X(x) = 0,\; \lim_{x\to \infty}F_X(x) = 1;
  3. F_X непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида \{(-\infty,x]\}_{x\in \mathbb{R}}, вытекает

Теорема 2. Любая функция F(x), удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения \mathbb{P}^X.

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.

Дискретные распределения

Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть X(\omega) = a_i,\; \forall \omega \in A_i, где \{A_i\}_{i=1}^{\infty} — разбиение \Omega.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: \mathbb{P}^X(B) = \sum_{i:a_i \in B} \mathbb{P}(A_i). Введя обозначение p_i = \mathbb{P}(A_i), можно задать функцию p(a_i) = p_i. Очевидно, что \sum_{i=1}^{\infty}p_i = 1. Используя счётную аддитивность \mathbb{P}, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение X.

Определение 4. Функция p(a_i) = p_i, где \sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1 часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция p задана таким образом, что p(-1) = \frac{1}{2} и p(1) = \frac{1}{2}. Эта функция задаёт распределение случайной величины X, для которой \mathbb{P}(X=\pm 1) = \frac{1}{2} (распределение Бернулли).

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1.  p_i \geqslant 0;

2.  \sum_{i=1}^{n} p_i = 1.

Непрерывные распределения

Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть дискретное, непрерывное или смесь дискретного и непрерывного. В приложениях нередко не делают разницы между терминами непрерывное распределение и абсолютно непрерывное распределение (см. далее).

Абсолютно непрерывные распределения

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Определение 5. Распределение случайной величины X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+, такая что \mathbb{P}^X(B) \equiv \mathbb{P}(X\in B) = \int\limits_B f_X(x)\, dx. Функция f_X тогда называется плотностью распределения случайной величины X.

Пример 2. Пусть f(x) = 1, когда 0\leqslant x \leqslant 1, и 0 — в противном случае. Тогда \mathbb{P}(a < X < b) = \int\limits_a^b 1\, dx = b-a, если (a,b) \subset [0,1].

Очевидно, что для любой плотности распределения f_X верно равенство \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1. Верна и обратная

Теорема 4. Если функция f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} такая, что:

  1. f(x) \geqslant 0,\; \forall x \in \mathbb{R};
  2. \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1,

то существует распределение \mathbb{P}^X такое, что f(x) является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если f(x) — непрерывная плотность распределения, а F(x) — его кумулятивная функция, то

  1. F'(x) = f(x),\; \forall x \in \mathbb{R},
  2. F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, dt.
Bvn-small.png  п·Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Примечания

При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Распределение вероятностей" в других словарях:

  • Распределение вероятностей — (в математической статистике) (probability distribu­tion) ряд чисел, показывающих, как часто встречается то или иное значение случайной величины, или соответствующая таблица, диаграмма или математическая формула, их заменяющая. Различают… …   Экономико-математический словарь

  • распределение вероятностей — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN probability distribution …   Справочник технического переводчика

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных …   Математическая энциклопедия

  • распределение (вероятностей) — 3.6 распределение (вероятностей) [(probability) distribution]: Функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет заданное значение (в случае дискретной переменной) или будет принадлежать заданному множеству значений (в… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Распределение вероятностей — (PROBABILITY DISTRIBUTION) описание частот возможных значений, принимаемых случайной величиной …   Финансовый глоссарий

  • распределение вероятностей (в математической статистике) — Ряд чисел, показывающих, как часто встречается то или иное значение случайной величины, или соответствующая таблица, диаграмма или математическая формула, их заменяющая. Различают эмпирические Р.в., получаемые в результате экспериментов и… …   Справочник технического переводчика

  • распределение вероятностей амплитуды — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN amplitude probability distributionAPD …   Справочник технического переводчика

  • распределение вероятностей отказов — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN failure distribution …   Справочник технического переводчика

  • распределение вероятностей состояний — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN distinction of states …   Справочник технического переводчика

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) — одно из основных понятий теории вероятностей (см.) и статистики математической (см.). При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство { F 1, S, Р), где Q… …   Российская социологическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Распределение вероятностей» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.