Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. ^[1] Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.^[2]

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

$\dot x=Ax+f(x),\quad(*)$

где $x\in \mathbb R^n$, $A$ — линейный оператор, $f(x)$ — гладкая функция класса $C^{k+1}$, причем $f(0)=0$ и $Df(0)=0$. Иными словами, $Ax$ — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех $A$-инвариантных подпространств $\mathbb R^n=T^s\oplus T^u\oplus T^c$, где $T^s, T^u, T^c$ определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

подпространство	название	спектр A
$T^s$	устойчивое (stable)	$\operatorname{Re} \lambda <0$
$T^u$	неустойчивое (unstable)	$\operatorname{Re} \lambda >0$
$T^c$	центральное (center)	$\operatorname{Re} \lambda = 0$

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы $\dot x=Ax$, решением которой является матричная экспонента $x(t)=e^{At}x_0$. Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение: ^[3]

Теорема (О центральном многообразии). В окрестности особой точки существуют многообразия $W^s, W^u$ и $W^c$ классов $C^{k+1}, C^{k+1}$ и $C^k$ соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств $T^s, T^u$ и $T^c$ и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора $A$.

Пример: седлоузел

Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

$\begin{cases} \dot x=x^2\\ \dot y=y \end{cases}$

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис $\{x=0,y>0\}$ и $x=0,y<0$ и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

$y(x)=y_0 \exp\left(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}\right)$,

где $y(x_0)=y_0$.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox $\{x<0, y=0\}$. В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого $x_0>0$ и любого $y_0$. В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча $\{x<0, y=0\}$, точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0). ^[4]

Глобальные центральные многообразия

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве $\mathbb R^n$, можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.) ^[5]

Рассмотрим проекции $\pi_s,\ \pi_u,\pi_c$ пространства $\mathbb R^n$ на соответствующие инвариантные подпространства оператора $A$. Определим также подпространство $T^h=T^u\oplus T^s$ и проекцию $\pi_h$ на него. Центральным многообразием $W^c$ называется множество таких точек $x$ фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из $x$, на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

$W^c:=\left\{x\in \mathbb R^n : \sup_{t\in \mathbb R} |\pi_h(\tilde x(t,x))|<\infty \right\}$,

где $\tilde x(t,x)$ — такое решение уравнения (*), что $\tilde x(0,x)=x$. ^[6]

Для существования глобального центрального многообразия на функцию $f(x)$ необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в $\mathbb R^n$ и определено единственным образом. ^[6] Если потребовать от $f(x)$ гладкости порядка $k$ и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка $k$ и касаться центрального инвариантного подпространства $T^c$ в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального. ^[7] Точнее, это утверждение формулируется следующим образом:^[8]

Теорема. Пусть $f\in C^k(\mathbb R^n)$, $k\ge 1$, $f(0)=0$, $Df(0)=0$ и $W^c$ — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля $\Omega$ и такая ограниченная на всем пространстве функция $\tilde f(x)$, совпадающая с $f(x)$ в $\Omega$, что уравнение (*) для функции $\tilde f$ имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области $\Omega$ с $W^c$

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения, формулируется следующим образом: ^[9]

Теорема (А. Н. Шошитайшвили, 1975^[10]). Нелинейная системы в окрестности негиперболической особой точки орбитально-топологически эквивалентна произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

$\begin{cases} \dot x=w(x)\\ \dot y=-y\\ \dot z=z, \end{cases}\quad x\in W^c,\ y\in T^s,\ z\in T^u$

Сноски

1. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5, c. 13
2. ↑ Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, глава 1, п. 2.3
3. ↑ Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, глава 1, пункт 2.2
4. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 37. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
5. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 14. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
6. ↑ ^{1 2} Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 16. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
7. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 36. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
8. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 38. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
9. ↑ Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0, см. также Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 406. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5
10. ↑ Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки. // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. — 1975. — № вып 1.. — С. 279—309.