Структура (математика)

Под структурой в математике понимают несколько довольно общих определений:

• Математическая структура, или просто структура — родовое название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам неопределённой природы. Для определения структуры, задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств, то есть задают так называемую ти́повую характеристику. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким наперёд заданным условиям — аксиомам структуры. В результате структура считается заданой и на её основе можно строить разнообразные теории.
• В теории множеств синонимом термина «структура» является термин «решётка».
• В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия M. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки x многообразия M, но и от выбора корепepa, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке x (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим GL^k(n) — общую дифференциальную группу порядка k (группу k-струй в нуле преобразований пространства $\R^n$, сохраняющих начало координат), M_k — многообразие кореперов порядка k n-мерного многообразия M (то есть многообразие k-струй $j^k_x(u)$ локальных карт $u:M\supset U\to\R^n$ с началом в точке x = u ^{− 1}(0)).

Группа GL^k(n) действует слева на многообразии M_k по формуле

$j^k_0(\varphi)j^k_0(u)=j^k_x(\varphi\circ u),\quad j^k_0(\varphi)\in GL^k(n),\quad j^k_x(u)\in M_k.$

Это действие определяет в M_k структуру главного GL^k(n)-расслоения $\pi_k:M_k\to M$, называемого расслоением кореперов порядка k.

Пусть теперь W — произвольное GL^k(n)-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы GL^k(n), a W(M) — пространство орбит левого действия группы GL^k(n) в $M_k\times W$. Расслоение $\pi_W:W(M)\to M$, являющееся естественной проекцией пространства орбит на M и ассоциированное как с W, так и с M_k, называется расслоением геометрических структур типа W порядка не больше k, а его сечения — структурами типа W. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GL^k(n)-зквивариантными отображениями $S:M_k\to W$.

Таким образом, структуры типа W можно рассматривать как W-значную функцию S на многообразии M_k k-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

$S(gu^k)=gS(u^k),\quad g\in GL^k(n),\quad u^k\in M_k.$

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия M действует как группа автоморфизмов π_W.

Если W есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GL^k(n), то структуры типа W называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть $V=\R^n$, $V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R)$ и $V^p_g=((\otimes^p V))\otimes((\otimes^q V^*))$ — пространство тензоров типа $(p,\;q)$ с естественным тензорным представлением группы GL¹(n) = GL(n). Структура типа $V^p_q$ называется тензорным полем типа $(p,\;q)$. Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов M₁, сопоставляющую кореперу $\theta=j^1_1(u)=(du^1,\;du^2,\;\ldots,\;du^n)$ набор координат $S(\theta)^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}$ тензора $S(\theta)\in V^p_q$ относительно стандартного базиса

$\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\otimes e^{*j_1}\otimes e^{*j_2}\otimes\ldots\otimes e^{*j_q}\}$

пространства $V^p_q$. При линейном преобразовании коронера $\theta\to g\theta=(g^i_a\,du^a)$ координаты $S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_p}$ преобразуются по тензорному представлению:

$S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}(q\theta)=g^{i_1}_{a_1}g^{i_2}_{a_2}\ldots g^{i_p}_{a_p}(g^{-1})^{b_1}_{j_1}(g^{-1})^{b_2}_{j_2}\ldots (g^{-1})^{b_q}_{j_q}S(\theta)^{a_1 a_2 \ldots a_p}_{b_1 b_2 \ldots b_q}.$

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

• векторное поле;
• дифференциальная форма;
• риманова метрика;
• симплектическая структура;
• комплексная структура;
• аффинор.

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского^[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа $V^1_{(2)}$, где $V^1_{(2)}\approx V\otimes S^2V^*$ — ядро естественного гомоморфизма $GL^2(n)\to GL^1(n)$, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы $GL^2(n)=GL(n)V^1_{(2)}$.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур. Их можно определить как структуры типа W, где W = GL^k(n) / G — однородное пространство группы GL^k(n).

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие G-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на G-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

• G-структура
• $(B,\;\varphi)$-структура
• C^k-структура
• pl-структура
• Γ-структура
• Контактная структура
• Почти комплексная структура
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Структура Ходжа
• Математическая структура

Примечания

1. ↑ Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.