Скалярное поле

Если каждой точке M некоторой области некоторого пространства (чаще всего подразумевается, что размерность этого пространства больше единицы) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая Rⁿ в R (скалярная функция точки пространства). Точка пространства при этом на практике может быть указана или просто символически, или с помощью вектора (если пространство может быть представлено как векторное) или набором координат.

Чаще других в приложениях встречаются:

• Функция трёх переменных: $u = u(\mathbf{r}) = u(x, y, z)$ (скалярное поле на (в) трехмерном пространстве, называемое иногда^[1] пространственным полем).
• Функция двух переменных: $u = u(\mathbf{r}) = u(x, y)$ (скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда^[1] плоским полем).
• В физике и многих других приложениях поле, как правило, вообще говоря зависит также от времени^[2]:

$u = u(x, y, z, t)$,

что означает, что в некотором смысле мы имеем в этом случае дело с полем на пространстве на единицу большей размерности 4-мерном, но и терминологически это остается скрытым, и, главное, операции над полем (такие, как градиент) используются при таком изложении всё же по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. (Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит кроме пространственных координат еще от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что однако не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле).

• В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным^[3], а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырехмерное пространство (называемое пространством-временем). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырехмерном пространстве или многообразии, т.е. функцию, зависимую от четырех формально равноправных координат:

$u = u(x_i) = u(x_0,x_1, x_2, x_3)$

(одна из этих четырех координат $x_i$ равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что u - лоренц-инвариантно. Все операции над полем (такие, как градиент) при этом используются в их четырехмерном виде.

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать C^m).

Примеры скалярных полей на трехмерном пространстве: температура (подразумевается, что она вообще говоря разная в разных точках пространства); электростатический потенциал; потенциал в ньютоновской теории тяготения; поле давления в жидкой среде.

Примеры поля на двумерном пространстве (на плоскости): глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте; плотность заряда на плоской поверхности проводника.

• Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).
  • В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть не является инвариантом преобразований координат).

• Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается обычно (если речь идет о фундаментальных полях) фундаментальное поле скаляра пространства Минковского (лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, (обычно первое и второе практически совпадает).
  • Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль, частица спина ноль, скалярная частица (последние, всё же несколько разводя эти близкие понятия, называют также возбуждениями скалярного поля).
  • Экспериментально (пока) не открыто ни одно фундаментальное скалярное поле. Однако такие поля играют немалую роль в теоретических построениях (существуют важные гипотетические скалярные поля, например, поле Хиггса), а также их наличие (наряду с векторными и тензорными полями, понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.

• В новых физических теориях (таких, как например теория струн) часто имеют дело с пространствами и многообразиями разной размерности, в том числе и достаточно высокой (больше четырех), и полями, в том числе скалярными полями, на таких пространствах.

Поверхность уровня

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня (также называемой изоповерхностями).

Поверхностью уровня скалярного поля $u = u(x, y, z)$ называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением $u(x, y, z) = c$. Набор поверхностей уровня для разных c дает наглядное представление о конкретном скалярном поле, для которого они построены (изображены)^[4], кроме того, представление о поверхностях уровня дает определенный дополнительный геометрический инструмент для работы со скалярным полем, который может использоваться для вычислений, доказательства теорем итп. Пример: эквипотенциальная поверхность.

Для поля на двумерном пространстве аналогом поверхности уровня является линии уровня. Примеры: изобата, изотерма, горизонталь на географической карте и прочие изолинии.

Поверхностями уровня для скалярного поля на пространстве большей размерности являются гиперповерхности размерности на единицу меньшей, чем размерность пространства.

Градиент

Основная статья: Градиент

Направление скорейшего возрастания поля $u = u(\mathbf{r}) = u(x, y, z)$ указывает вектор градиента, обозначаемый стандартно

$\mathbf{grad}\ u$,

или

$\nabla u$,

с компонентами:

$\left(\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial z}\right)$.

(Приведена формула для трехмерного случая, на другие размерности она обобщается прямо и тривиально).

• Если координаты не декартовы (базис не ортонормирован) существенно заметить, что приведенные выше компоненты градиента есть компоненты ковариантные, т.е. градиент скалярного поля есть ко-векторное поле. Для ортономированных базисов это не существенно, так как для них понятие вектора и ко-вектора можно считать совпадающими, как и ковариантные и контравариантные координаты.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Плоское поле - Метеорологический Словарь
2. ↑ Будем во избежании путаницы в этом параграфе говорить только о поле на трехмерном пространстве.
3. ↑ На это есть лостаточно серьезные причины, сводящиеся к тому, что в физике не только можно делать формальные преобразования (так называемые преобразования Лоренца, которые можно охарактеризовать как пространственно-временные повороты), смешивающие пространственные координаты с временной, но оказывается, что никакие физические эксперименты и наблюдения, насколько известно на сегодня, не могут выявить различия между уравнениями физики, записанными в той или другой из двух повернутых так друг относительно друга пространственно-временных системах координат.
4. ↑ "Картинка" таких поверхностей, конечно же, в целом трехмерная (сами поверхности двумерны, но вообще говоря не плоские и располагаются в трехмерном пространстве), однако ее можно, в в протых случаях и нетрудно вообразить, а также каким-то образом построить одну или несколько двумерных проекций или сечений такой трехмерной картинку.

Литература

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Гольдфайн И. А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука, 1968.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965.