Риманова субмерсия

Риманова субмерсия

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Содержание

Определение

Пусть (M,g) и (N,h) — римановы многообразия. Гладкое отображение f\colon(M,g)\to (N,h) называется римановой субмерсией, если для любой точки x есть изометрическое линейное вложение \imath_x\colon T_{f(x)}\to T_x такое, что \imath_x \circ d_xf есть ортогональная проекция, здесь d_xf обозначает дифференциал отображения f в точке x.

Для вектора X\in T_{f(x)} вектор \overline{X}=\imath_x(X) называется горизонтальным поднятием X.

Формула О’Нэйла

Пусть f\colon N\to M — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей X, Y на M, значение тензора кривизны R_M можно вычислить используя формулу О’Нэйла

  • \langle R_M(X,Y)Y,X\rangle=\langle R_N(\overline{X},\overline{Y})\overline{Y},\overline{X}\rangle+\tfrac34\left|[\overline{X},\overline{Y}]^V\right|^2,
где \overline{X},\overline{Y} — горизонтальные поднятия полей X и Y соответственно, [\overline{X},\overline{Y}]^V — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей \overline{X},\overline{Y} на N.

Следствия

Вариации и обобщения


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Риманова субмерсия" в других словарях:

  • Формула О'Нэйла — Риманова субмерсия  субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией. Содержание 1 Определение 2 Формула О’Нэйла 2.1 Следствия …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»