Промежутки действительных чисел. Окрестности

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если $a\leqslant b,\,a\in R,\, b\in R$, то множество $\{x: a\leqslant x\leqslant b\}$ называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через $[a,\;b]$, то есть

$[a, b]\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a\leqslant x\leqslant b\}, a\in \overline{R}, b\in \overline{R} .$

В случае $a\,=\,b$ отрезок $[a\,,\, b]$ состоит из одной точки.

Если $a\,<\, b$, то множество $\{x \;: \;a< x< b\}$ называется интервалом и обозначается через $(a,\, b)$, т.е.

$(a, b)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a< x< b\}.$

Интервал $(a,\, b)$ называется внутренностью отрезка $[a,\, b].$

Множества $[a, b)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a\leqslant x< b\}$ и $(a, b]\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a< x\leqslant b\}$ называются полуинтервалами.

Отрезки $[a,\, b]$, интервалы $(a,\, b)$ и полуинтервалы $[a,\, b), \,(a,\, b]$ называются промежутками, а точки a и b - их концами: a - левым концом, а b - правым, а точки x такие, что $a<\, x <\,b,$ - их внутренними точками.

Если a и b конечны, т.е. $a\in R,\, b\in R,$ то промежуток с концами a и b называется также конечным промежутком, а число b ? a - его длиной. Если хотя бы одно из a и b является бесконечным, то промежуток с концами a и b называется бесконечным.

Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством:  если точки $\alpha \in \overline{R}, \,\beta \in \overline{R}, \,\alpha < \beta ,$
принадлежат некоторому промежутку с концами $a\in \overline{R}$ и $b\in \overline{R},$ то и весь отрезок $[\alpha,\,\beta]$ принадлежит этому промежутку.

Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие $\varepsilon$ - окрестности точки расширенной числовой прямой. В случае $a\in R,$ т.е. когда a является действительным числом, $\varepsilon$ - окрестностью $U(a,\, \varepsilon),$ ^[1] $\varepsilon > 0,$а числа a называется интервал $(a-\varepsilon,\, a+\varepsilon):$

$U(a, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}(a-\varepsilon,\, a+\varepsilon).$

Если же $a=+\infty,$ то

$U(+\infty,\, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}({1\over \varepsilon} ,\, +\infty],$ 

а если $a=-\infty,$ то

$U(-\infty,\, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}[-\infty,\,-{1\over \varepsilon}).$ 

Таким образом, во всех случаях, т.е. когда a - действительно число и когда a - одна из бесконечностей $+\infty,\, -\infty,$ при уменьшении числа $\varepsilon$ соответствующие $\varepsilon$ - окрестности $U(a,\,\varepsilon)$ уменьшаются: если $0<\varepsilon_1<\varepsilon_2,$ то $U(a,\, \varepsilon_1)\subset U(a,\, \varepsilon_2).$

Иногда бывает удобно пополнить множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) $\infty.$ Ее $\varepsilon$ - окрестность $U(\infty,\,\varepsilon),\, \varepsilon>0,$ определяется равенством

$U(\infty,\, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\{ x: x\in R,\, |x| > {1\over \varepsilon} \right\}\, U\{\infty \}.$

Иначе говоря, $\varepsilon$ - окрестность $U(\infty,\,\varepsilon)$ состоит из двух бесконечных интервалов $(-\infty,\,-{1\over \varepsilon}),\, ({1\over \varepsilon},\,+\infty,)$ и самого элемента $\infty.$ Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со знаком $+\infty$ и $-\infty$ бесконечность $\infty$ без знака не связана с действительными числами отношением порядка.

Всякая $\varepsilon$ - окрестность конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто обозначается просто через U(a). Иногда мы будем обозначать окрестность и другими буквами, например V, W.

Нередко с определенными выше окрестностями бесконечностей в пополнениях ими множества действительных чисел иногда рассматривают и окрестности бесконечностей $\infty,\,+ \infty$ и $-\infty$ в самом множестве действительных чисел: $U(\infty)\cap R,\, U(+\infty) \cap R$ и $U(-\infty)\cap R.$ Сами бесконечности, конечно, уже не попадают в эти окрестности.

 Лемма
У любых двух различных точек расширенной числовой прямой (расширенной с помощью двух бесконечностей со знаком или при помощи  
только одной бесконечности без знака) существуют непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай расширенной числовой прямой R, полученной добавлением к множеству действительных чисел R двух бесконечностей со знаком. Покажем, что для любых $a\in R$ и $b \in R,\, a < b,$ существуют такие $\varepsilon_1>0$ и $\varepsilon_2>0,$ что $U(a,\,\varepsilon_1)\cap U(b,\, \varepsilon_2) = \varnothing.$ В самом деле, если a и b - действительные числа, то можно взять $\varepsilon_1=\varepsilon_2={{b-a}\over 2}$ (рис. 1, а)^[2] Если a - действительное число, а $b=+\infty$, то в качестве указанных $\varepsilon_1> 0$ и $\varepsilon_2> 0$ подходят, например, $\varepsilon_1=1$и $\varepsilon_2={1\over{|a|+1}}$(рис. 1, б). Если $a=-\infty, b$ - действительное число, то можно взять $\varepsilon_1={1\over{|b|+1}},\, \varepsilon_2=1$(рис. 1, в). Наконец, если $a=-\infty, b=+\infty,$ то при произвольном $\varepsilon > 0$ окрестности $U(-\infty,\,\varepsilon)$ и $U(+\infty,\,\varepsilon)$ не пересекаются (рис. 1, г). Если же числовая прямая R дополнена лишь одной бесконечностью $\infty$, то достаточно рассмотреть лишь случай $a\in R$ и $b=\infty$ (так как случай $a\in R$ и $b\in R$ рассмотрен выше), в котором можно снова (как при $a\in R,\,b=+\infty$) взять $\varepsilon_1=1$, а $\varepsilon_2={1\over{|a|+1}}.$

Замечание 2. В случае $a\,<\,b,\, a\in \overline R,\,b \in \overline R$  и их непересекающихся окрестностей $U(a,\varepsilon_1)\cap U(b,\varepsilon_2) =\varnothing$ 
для любых $x\in U(a,\varepsilon_1)$ и $y\in U(b,\varepsilon_2),$ очевидно, справедливо неравенство $x\, <\, y.$

Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой во всех возможных здесь случаях, т.е. при $a\in R, b\in R,$ при $a\in R,\,b=+\infty,$ при $a=-\infty, b\in R$ и при $a=-\infty, b=+\infty.$ Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.

Примечания

1. ^ Обозначение окрестности точки символом U происходит от нем. Umgebung - окрестность.
2. ^ Рисунок 1

Источник

Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа, "Дрофа"