Открытые математические проблемы

Открытые математические проблемы

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Содержание

Теория чисел

Геометрия

  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[2][3]
  • Существует ли такая константа A, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?[4]
  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[5]
  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[6][7]
  • Найдется ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?[7][8]
  • Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[9]
  • Даны положительные действительные числа S_0,\;\ldots,\;S_n. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?
  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[10]
  • При каком минимальном V любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?[11]
  • Чему равно хроматическое число n-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости (Проблема Хэдвигера — Нельсона (англ.)); другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет.
  • Задача Томсона. Как разместить n одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n=2, 3, 4, 6 и 12).[12] Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n точек?
  • Как разместить n точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[13]
  • Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.[14][15]
  • Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08.[16]
  • Happy Ending problem. При каком минимальном m среди любых m точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого n-угольника? Решение известно только для n<7. Результат для n=6 (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 13.
  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[17]
  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году.[18][19][20]
  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?
  • Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[21][22][23]

Задачи упаковки

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R?[24]
  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[25]
  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[25]

Многомерные пространства

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью n>4? Эта задача решена лишь для n=8 (240) и n=24 (196 560).[26][27]
  • Задача плотнейшей упаковки шаров в n-мерном евклидовом пространстве для n>3. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.[28]
  • Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 — положителен)[29]

Механика

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[5]
  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
  • Однородное твёрдое тело плавает в воде (выталкивающая сила направлена нормально к поверхности и прямо пропорциональна глубине) и находится в равновесии при любой ориентации. Можно ли утверждать, что оно является шаром?

Алгебра

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешенных задач в области теории групп. Издается с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на русском и английском языках.[32][33]

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.[34]

Анализ

  • Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой \mathrm{Re}(z)=1/2?
  • Чему равна постоянная Миллса (англ.)? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
  • До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как \pi и e; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа \pi бесконечное количество раз.
  • Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?
  • Является ли \ln 2 нормальным числом?[35]
  • Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа \pi, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
  • Сходятся ли ряды \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n} и \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?[36]

Вопросы иррациональности

Комбинаторика

Теория графов

  • Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m ребер, имеет замкнутый контур длиной не более \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil.[46]
  • Гипотеза Хадвигера — каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу K_n.
  • Гипотеза Улама:
    • а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
    • б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра.
  • Любой кубический граф имеет простой цикл длины 2^n.[источник не указан 513 дней]
  • В любом графе можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.

Теория узлов

  • Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?
  • Чему равно количество простых узлов (англ.) с n двойными точками (англ.) для n>16? Является ли эта последовательность строго возрастающей?[47] Значения для n<17 даёт последовательность A002863 в OEIS.

Теория алгоритмов

Вопросы алгоритмической разрешимости

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах.[48][49]
  • Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц 2\times 2 определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу.[50]
  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?

Теория вычислительной сложности

  • P = NP?
  • Является ли задача изоморфизма графов NP-полной?[51]
  • Принадлежит ли задача нахождения простого множителя натурального числа к классу P?
  • Принадлежит ли задача распознавания тривиального узла (англ.) к классу P?
  • Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения целых чисел. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Мартина Фюрера, выполняющийся за n \log n\,2^{O(\log^* n)}, где \log^* — итерированный логарифм (англ.).
  • Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения матриц. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Копперсмита — Винограда, работающий за O(n^{2{,}3727}) (однако с непрактично большим коэффициентом).

Другие проблемы теории алгоритмов

  • Проблема «усердного бобра» (англ.)[52]. Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с n состояниями и алфавитом \{0,\;1\} на заполненной нулями ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех n, и пока известны только значения для n<5.[53]

Аксиоматическая теория множеств

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
  • Проблема Скулема. Рассмотрим множество S функций одного натурального переменного n, построенных из термов 1, n и замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций f, g из этого множества будем писать f \preccurlyeq g, если f(n) \leqslant g(n) выполняется для всех достаточно больших n. Известно, что отношение \preccurlyeq вполне упорядочивает множество S. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем \varepsilon_0 и не больше чем первый критический ординал \tau_0 = \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}})[54][55] Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).[56][57]
  • Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) α, удовлетворяющим условиям α ≠ α2 и α = α3?[58]

Теория доказательств

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано?[59] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.

Вычислительная математика

  • Определить предельный уровень аппроксимации n-стадийного метода Рунге — Кутта (одностадийный = метод Эйлера = O(h), двухстадийный = модифицированный метод Эйлера = O(h^2), четырёхстадийный = классический метод Рунге — Кутта = O(h^4), пятистадийный = метод Фельберга = тоже O(h^4)).

Дифференциальные уравнения

  • Неизвестно точное решение уравнения Ван-дер-Поля (англ.):[60]
\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^ 2 x = 0

Известные проблемы, недавно решённые

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four points on this curve that are the vertices of a square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  3. Weisstein, Eric W. Square Inscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  5. 1 2 Улам С. Глава III // Нерешённые математические задачи. — Наука, 1964.
  6. Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  7. 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  8. Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each of the four corners of a unit square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  9. Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  10. Удивительные объёмы многогранников
  11. Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Задача Томсона
  13. Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the minimum distance between any two of them is as large as possible?Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  14. Decomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible Diameter
  15. Noga Alon (англ.), Discrete mathematics: methods and challenges
  16. Pixel Counting, Mu-Ency at MROB
  17. Weisstein, Eric W. Illumination Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  18. Integer distances
  19. Tobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle
  20. Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry
  21. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (нем.)
  22. Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich: European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6. — № 1. — P. 390—393.
  23. Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence: American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139. — № 5. — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — DOI:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 arΧiv:0906.3217
  24. Packing Equal Circles on a Sphere
  25. 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  26. Контактное число
  27. Weisstein, Eric W. Контактное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  28. Weisstein, Eric W. Гипотеза Кеплера (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  29. Weisstein, Eric W. Keller's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  30. R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv
  31. Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups", arΧiv:0908.2257 [math.GR] 
  32. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) / Ред. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 4 изд. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения АН СССР, 1973.
  33. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 17 изд. доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2010. — 219 с.
  34. Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей / Сост. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков. — 4-е изд. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1993. — 73 с.
  35. Weisstein, Eric W. Натуральный логарифм 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  36. Weisstein, Eric W. Flint Hills Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  37. Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  38. Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  39. Weisstein, Eric W. e (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  40. en:Irrational number#Open questions
  41. Some unsolved problems in number theory
  42. Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  43. An introduction to irrationality and transcendence methods
  44. Weisstein, Eric W. Measure.html Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  45. Weisstein, Eric W. Постоянная Пелля (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  46. Caccetta-H�ggkvist Conjecture (1978)
  47. Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
  48. Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
  49. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
  50. When is a pair of matrices mortal?
  51. Weisstein, Eric W. Изоморфизм графов (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  52. И. В. Абрамов. Теория автоматов, языков и вычислений. — М., 2003.
  53. последовательность A028444 в OEIS
  54. Transfinite Ordinals and Their Notations
  55. http://www.ams.org/journals/tran/1984-286-01/S0002-9947-1984-0756043-7/S0002-9947-1984-0756043-7.pdf
  56. Skolem + Tetration Is Well-Ordered
  57. The Ordinal of Skolem + Tetration Is τ0
  58. Вацлав Серпинский Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава: Polish Scientific Publishers, 1965.  (англ.)
  59. WolframScience Conference NKS2006
  60. М. Табор Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. пер. с англ., М.: «Эдиториал УРСС», 2001, 320 с., тир. 1000 экз., ISBN 5-8360-0192-8, гл. 1 «Динамика дифференциальных уравнений», 1.4 «Линейный анализ устойчивости», 1.4г «Предельные циклы», с. 29
  61. Решена задача о раскраске дорог

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Открытые математические проблемы" в других словарях:

  • Проблемы Гилберта — Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел,… …   Википедия

  • Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел  это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… …   Википедия

  • Проблемы Гильберта — Проблемы Гильберта  список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию… …   Википедия

  • Открытые проблемы — Содержание 1 Важные проблемы, стоящие перед современной наукой 1.1 Математика 1.2 Физика 1.3 …   Википедия

  • Проблемы Ландау — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… …   Википедия

  • Проблемы тысячелетия — Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя …   Википедия

  • Открытые данные — Проект Linking Open Data в сентябре 2007 …   Википедия

  • Нерешённые проблемы математики — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы)  проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… …   Википедия

  • Нерешенные проблемы математики — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы)  проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… …   Википедия

  • Нерешенные проблемы теории чисел — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы)  проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.