Оператор (физика)


Оператор (физика)
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.

В квантовой механике операторы действуют на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы, и обозначаются большими латинскими буквами с циркумфлексом наверху. Например:

\hat{A},\hat{B},\hat{C},\dots

Оператор действует на функцию, которая стоит справа от него (говорят также, что он применяется к функции или умножается на функцию):

\hat{A}\Psi_1 = \Psi_2

В квантовой механике используется математическое свойство линейных самосопряженных (эрмитовых) операторов, заключающееся в том, что каждый из них имеет собственные векторы и собственные вещественные значения. Они выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин.

Содержание

Арифметические операции над операторами

  • Оператор \hat{C} называется суммой (разностью) операторов \hat{A},\hat{B}, если для любой функции \ \Psi из области определение всех трёх операторов выполнено условие:

\hat{C}\Psi=\hat{A}\Psi \pm \hat{B}\Psi

  • Оператор \hat{C} называется произведением операторов \hat{A},\hat{B}, если для любой функции \ \Psi выполнено условие:

\hat{C}\Psi=\hat{A}(\hat{B}\Psi)

В общем случае

\hat{A}\hat{B}\not=\hat{B}\hat{A}

Если \hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}, то говорят, что операторы \hat{A},\hat{B} коммутируют. Коммутатор операторов определяется как

[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

Собственные значения и собственные функции оператора

Если имеет место равенство:

\hat{A}\Psi=a\Psi,

то \ a называют собственным значением оператора \hat{A}, а функцию \ \Psi — собственной функцией оператора \hat{A}, соответствующей данному собственному значению. Чаще всего у оператора имеется множество собственных значений: \ a_1,a_2,\dots,a_n,\dots Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Линейные и самосопряжённые операторы

Оператор \hat{L} называется линейным, если для любой пары \varphi_{i},C_{i} выполнено условие:

\hat{L}\sum_{i}C_{i}\varphi_{i}=\sum_{i}C_{i}\hat{L}\varphi_{i}.

Оператор \hat{A} называется самосопряжённым (эрмитовым), если для любых \Psi,\varphi выполнено условие:

\left\langle \Psi|\hat{A}\varphi \right\rangle = \left\langle \hat{A}\Psi|\varphi \right\rangle

При этом сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. Произведение самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор, если они коммутируют. Собственные значения самосопряжённых операторов всегда вещественны. Собственные функции самосопряжённых операторов, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.

Операторы, используемые в квантовой физике

Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния.

В квантовой физике наблюдаемым величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, состояниям — классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Это делается в основном по двум причинам:

  • Собственные значения самосопряжённых операторов, соответствующие конкретным значениям физических величин, являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).
  • Одна и та же квантовая частица может находиться одновременно во множестве квантовых состояний, которые и характеризуются множеством собственных значений соответствующего оператора. Это может быть конечное множество (дискретный спектр значений), интервал (непрерывный спектр значений) или смешанное множество.

В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

\hat{\mathbf{x}}=x

Действие оператора координат заключается в умножении на вектор координат.

\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla

Здесь \ i — мнимая единица, \nabla — оператор набла.

\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m}\mathcal{4}

Здесь \hbar — постоянная Планка, \mathcal{4} — оператор Лапласа.

\hat{U}=U(x,y,z,t)

Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.

\hat{H}=\hat{T}+\hat{U}

\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar[\mathbf{r},\nabla]

В важнейшем случае спина 1/2 оператор спина имеет вид: \hat{s}=\frac{1}{2}\hat{\sigma}, где

\hat{\sigma}_{x}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hat{\sigma}_{y}=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \hat{\sigma}_{z}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} — т. н. матрицы Паули.

См. также

Литература

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
  2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, М., «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Оператор (физика)" в других словарях:

  • Оператор — В Викисловаре есть статья «оператор» Оператор может означать: Оператор (математика)  то же, что математическая функция; Оператор (биология)  последовательность ДНК, принимающая участие в регуляции активности генов; Оператор… …   Википедия

  • Физика или химия (телесериал, Россия) — Физика или химия Жанр драма,комедия В главных ролях Виктория Полторак Мария Викторова Александр Лучинин Сергей Годин Анна Невская Любовь Германова Александр Смирнов Композитор Алексей Хитман, Маина Неретина …   Википедия

  • Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 …   Википедия

  • Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности)  один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так …   Википедия

  • СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — раздел физики, посвящённый изучению св в макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых ч ц (молекул, атомов, эл нов и т. д.), исходя из св в этих ч ц и вз ствий между ними. Изучением макроскопич. тел занимаются и др …   Физическая энциклопедия

  • Поле (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Поле (значения). Поле в физике физический объект, классически описываемый математическим скалярным, векторным, тензорным, спинорным полем (или некоторой совокупностью таких математических полей),… …   Википедия

  • Функция распределения (статистическая физика) —     Статистическая физика …   Википедия

  • Статистическая физика —         раздел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.… …   Большая советская энциклопедия

  • Динамическая переменная (физика) — Эта статья  о физическом термине. О более общем термине см. Физическая величина. У этого термина существуют и другие значения, см. Динамическая переменная. Динамические переменные описывают динамику системы в отличие от… …   Википедия

  • Статистический оператор —         матрица плотности, оператор, с помощью которого можно вычислить среднее значение любой физической величины в квантовой статистической физике (См. Статистическая физика) и, в частности, в квантовой механике (См. Квантовая механика). С. о.… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Оператор (физика)» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.