Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

Линейное однородное уравнение первого порядка

                                            y' + p(x)y = 0

Общее решение: $y=Ce^{-\int p(x)dx}$

Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀

                                            $y=y_0e^{-\int\limits_{x_0}^x p(t)dt}$

Линейное неоднородное уравнение первого порядка

                                            y' + p(x)y = q(x)

Общее решение:

                                      $y=e^{-\int p(x)dx}\Bigl(C+\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\Bigr)$

Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀:

                          $y=e^{-\int\limits_{x_0}^xp(t)dt}\left(y_0+\int\limits_{x_0}^xq(t)e^{\ \int\limits_{x_0}^xp(\tau)d\tau}dt\right)$

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

                                           y'' + ay' + by = 0

Характеристическое уравнение

                                           λ2 + aλ + b

Характеристические числа

                       $\lambda_1=-{a\over 2}-\sqrt{{a^2\over 4}-b}\;,\ \lambda_2=-{a\over 2}+\sqrt{{a^2\over 4}-b}$