Лес непересекающихся множеств

Лес непересекающихся множеств — древовидная структура данных для непересекающихся множеств.

Представление множеств

Каждое множество представляется в виде корневого дерева. В лесу непересекающихся множеств каждый узел содержит один элемент множества и указывает только на свой родительский узел. Корень каждого дерева содержит представителя и является родительским для самого себя.

Операции над лесом непересекающихся множеств выполняются следующим образом:

MAKE_SET - создает дерево с одним узлом.

FIND_SET - передвигаемся по родительским ссылкам до корня дерева.

UNION - устанавливает указатель корня одного дерева на корень другого.

Эвристики для повышения эффективности

Объединение по рангу. Идея эвристики состоит в том, чтобы при выполнении операции UNION высота итогового дерева по возможности не увеличивалась. Для этого используется характеристика ранг для каждого корня, которая представляет собой верхнюю границу высоты узла. Операция MAKE_SET создаёт корень с рангом 0. Операция UNION, которая в этом случае называется объединение по рангу, действует следующим образом:

• Если ранги корней различны, корень с меньшим рангом указывает на корень с большим рангом. Ранги корней не меняются.
• Если ранги корней равны, любой из корней указывает на другой. Ранг того корня, на который указывает другой корень, увеличивается на 1.

Сжатие путей. Эвристика в процессе выполнения операции FIND_SET делает каждый узел (которые встретились при передвижении до корня) указывающим непосредственно на корень. Сжатие путей не изменяет ранги узлов.

Псевдокод

Рассмотрим пример реализации леса непересекающихся множеств. В массиве p будем хранить ссылку на родительских узел, а в массиве r ранг вершины.

operation MAKE_SET(x)
   p[x] = x
   r[x] = 0

operation FIND_SET(x)
   if x ≠ p[x] then
       p[x] = FIND_SET(p[x])
   return p[x]

operation UNION(x, y)
   if r[x] > r[y] then
       p[y] = x
   else
       p[x] = y
       if r[x] = r[y] then
           r[y] = r[y] + 1

Время работы

Будучи примененным раздельно, объединение по рангу и сжатие путей приводят к повышению эффективности операций над лесом непересекающихся множеств. Объединение по рангу само по себе дает время работы $O(m~\lg{n})$, где $m$ — количество общее количетсво операций, а $n$ — количетсво элементов в системе. Сжатие путей само по себе приводит ко времени работы в наихудшем случае $O(n + f~\log_{2 + f/n}{n})$, где $f$ — количество операций FIND_SET. Применение обеих эвристик дает время работы в наихудшем случае $O(m\ \alpha(n, m))$, где $\alpha(n, m)$ — обратная функция Аккермана. Эта оценка является нижней границей времени работы с непересекающимися множествами, поэтому лес непересекающихся множеств является оптимальной структурой для непересекающихся множеств.

Ссылки

• Визуализатор работы структуры данных

Литература

• Томас Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1