Интегралы Френеля

S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать $\pi t^2/2$ вместо $t^2$, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

$S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.$

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен $\pi t^2 /2$, а не $t^2$, как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

$S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

Некоторые авторы^[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций $\frac{\pi}{2}t^2$. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси Y в $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ раз и растяжением вдоль оси X во столько же раз.

Спираль Корню

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при $t \rightarrow +\infty$.

Основная статья: Клотоида

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

$C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1,$

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

Свойства

• C(x) и S(x) — нечётные функции x.

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$.

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при $x \rightarrow \infty$ равен

$\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.$

Вычисление

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при $x \rightarrow \infty$ могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

$e^{-\frac{1}{2}t^2}$

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом $y=x$, $x \geqslant 0$ и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При $R \rightarrow \infty$ интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = \sqrt{\frac {\pi}{2}},$

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

• Дифракция Френеля
• Функция Доусона
• Обобщённые интегралы Френеля

Примечания

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)

1. ↑ Уравнения 7.3.1 — 7.3.2

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².)  (англ.)
• Roller Coaster Loop Shapes.(недоступная ссылка — история) Проверено 13 августа 2008.  (англ.)