Интегралы Френеля


Интегралы Френеля
S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать \pi t^2/2 вместо t^2, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Содержание

Разложение в ряд

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен \pi t^2 /2, а не t^2, как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Некоторые авторы[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций \frac{\pi}{2}t^2. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси Y в \sqrt{\frac{2}{\pi}} раз и растяжением вдоль оси X во столько же раз.

Спираль Корню

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при t \rightarrow +\infty.

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1,

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

Свойства

  • C(x) и S(x) — нечётные функции x.
S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Вычисление

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при x \rightarrow \infty могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

e^{-\frac{1}{2}t^2}

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом y=x, x \geqslant 0 и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При R \rightarrow \infty интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

 \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 
\sqrt{\frac {\pi}{2}},

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

Примечания

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)
  1. Уравнения 7.3.1 — 7.3.2

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Интегралы Френеля" в других словарях:

  • Обобщённые интегралы Френеля — (интегралы Бёмера) специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.[1] Обобщённый косинус Френеля: Обобщённый синус Френеля: Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера… …   Википедия

  • ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ — спец. ф ции, двулистные ана литич. ф ции вида Введены О. Ж. Френелем в нач. 19 в. Встречаются в разл. областях физики; напр., в теории дифракции, теории поперечных колебаний стержня и т. д. Ф. и. можно представить в виде степенных рядов:… …   Физическая энциклопедия

  • Френеля интегралы —         интегралы вида                  и                  введённые О. Ж. Френелем (См. Френель) при решении задач дифракции света (См. Дифракция света). Несобственные Ф. и. равны S (∞) = С (∞) = 1/2. Таблицы Ф. и. приводятся во многих… …   Большая советская энциклопедия

  • ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ — специальные функции Ф. и. представляют в виде рядов Асимптотич. представление при больших х: В прямоугольной системе координат ( х, y )проекциями кривой где t действительный параметр, на координатные плоскости являются Корню спираль и кривые (см …   Математическая энциклопедия

  • Дифракция Френеля — Схема эксперимента дифракции на круглом отверстии Дифракция Френеля дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятс …   Википедия

  • Формулировка через интегралы по траекториям — ВНИМАНИЕ. Статья не полностью отражает современное состояние вопроса, содержит существенные пробелы и неточности. //7 янв 2010 Квантовая механика Принцип неопределённости Гейзенберга …   Википедия

  • Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. ВНИМАНИЕ. Стат …   Википедия

  • Свет* — Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Свет — Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Френель, Огюстен Жан — Огюстен Жан Френель Augustin Jean Fresnel Огюстен …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.