Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм.

Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.

См. также

• Диада (англ. Dyadic tensor)
• Двухэлементный тензор (англ. Dyadic tensor)
• Умножение двухэлементного тензора (англ. Dyadic product)
• Кватернион
• Внешняя алгебра

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить интервики в рамках проекта Интервики.