Гравитационное замедление времени

В физике, гравитационное красное смещение является проявлением эффекта изменения частоты света (вообще говоря, любых электромагнитных волн) по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды и чёрные дыры; оно наблюдается как сдвиг спектральных линий в красную область спектра.

Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное фиолетовое смещение.

Этот эффект не ограничивается исключительно электромагнитным излучением, а проявляется во всех периодических процессах, и таким образом, связан с более общим гравитационным замедлением времени.

Определение

Красное смещение принято обозначать символом z:

$z=\frac{\lambda_o-\lambda_e}{\lambda_e},$

где:

λ_e — длина волны фотона, измеренная в точке излучения.

λ_o — длина волны фотона, измеряемая удалённым наблюдателем.

Гравитационное красное смещение в общей теории относительности для света, излучаемого на расстоянии r от массивного тела и принимаемого на бесконечности, приблизительно равно:

$z_\mathrm{approx}=\frac{GM}{c^2r},$

где:

z_approx — смещение спектральных линий под влиянием гравитации, измеряемое бесконечно удалённым наблюдателем,

G — гравитационная постоянная Ньютона,

M — масса гравитирующего тела,

c — скорость света,

r — радиальное расстояние источника от центра тела.

Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

$\frac{\nu_r}{\nu_e}=\frac{s_e}{s_r}= \frac{\vec{u}_r\cdot \vec k_{r}}{\vec{u}_e\cdot\vec k_{e}},$

где

ν_r и ν_e — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,

s_r и s_e — собственные времена колебаний,

u_r и u_e — 4-скорости приёмника и источника, а

k_r и k_e представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала^[1].

История

Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн Георг ван Зольднер (1801) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле $E = \hbar \omega,$ где $\hbar$ — постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика.

Важные моменты

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более высоким гравитационным потенциалом, чем источник.

• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных универсистетах и лабораториях по всему миру.

• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.

• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса M, указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение

Эксперимент Паунда и Ребки 1969 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии 22,5 м по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,5×10⁻¹⁵.

Применение

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования ГЛОНАСС.

Связь с замедлением времени

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода часов в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул эффекта Доплера в специальной теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры), гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительному замедлению хода часов в точке приёма и передачи. Однако метод расчёта гравитационного красного смещения через замедление времени становится слишком громоздким, если учитывать эффекты увлечения пространства, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—«сюда», мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей ^[2].

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим $~l$. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением $\vec{a}$ относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы $~\tau_{out} = \tau_{in}$, и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время $~\tau_{in}$ он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как $~w$, скорость самого источника в момент посылки сигнала $~v.$ Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули $~u$ в неподвижной системе:

$u = \frac{w+v}{1+ wv / c^2} = \frac{c^2 (w+v)}{c^2 + wv}. \qquad (1)$

На преодоление расстояния $~l$ сигнал затратит время $~t,$ а приемник за это время сместится на $~vt + at^2 / 2.$ Отсюда получаем уравнение:

$~ut = l + vt + at^2 / 2,$

решив которое относительно $~t,$ получим:

$t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1- \frac{2al}{(u-v)^2} \right) ^{-1/2} \right]$

или приближённо^[3]:

$t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1 + \frac{la}{(u-v)^2} + \cdots \right) \right].$

Таким образом, приходим к двум решениям:

$t_1= - \frac{l}{u-v}, \qquad t_2= 2 \frac{u-v}{a}+ \frac{l}{u-v}.$

Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим u из формулы (1) в формулу для $~t$ и при этом ограничимся $~w$ и $~v$ столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка $~w^2$ и $~v^2:$

$t = \frac{l(c^2 + wv)}{wc^2}= l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right).$

Скорость установки за время $~\tau$, разделяющее посылку двух последовательных сигналов^[4], увеличится на $~a \tau$ и станет равной $~v+a \tau$. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:

$\Delta t = \Delta \tau = l \left( \frac{1}{w} + \frac{v+a \tau_0}{c^2} \right) - l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right) = \frac{a l \tau_0}{c^2}$

и в итоге

$\frac{ \Delta \tau}{ \tau_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \tau_1 = \tau_0 \left(1+ \frac{al}{c^2} \right).$

Изменениями $~l$ и $~ \tau$ (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости. «…Итак, часы идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует, что спектральные линии света, попадающего к нам с поверхности больших звёзд, должны сместиться к красному концу спектра», писал Эйнштейн ^[5].

Для частоты получим:

$\frac{ \Delta \nu}{ \nu_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \nu_1 = \nu_0 \left(1- \frac{al}{c^2} \right).$

Обозначив гравитационный потенциал как $~ \Phi = - al,$ получим:

$\tau_1 = \tau_0 \left(1- \frac{ \Phi}{c^2} \right); \qquad \nu_1 = \nu_0 \left(1+ \frac{ \Phi}{c^2} \right).$

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая $~ \Phi / c^2 \ll 1$ ^[6].

Объяснение

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом.

Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины g_ik от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

С другой стороны, согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной точки пространства через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от точки к точке, в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда-Ребки, или «красное смещение» спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой $\lambda=cT=\frac{c}{\nu}$, поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение»^[7].

В свете вышеизложенного следует чётко определить смысл применяющихся терминов «гравитационное замедление времени» и «гравитационное красное смещение»: первое представляет собой физически измеряемый эффект, а второе — его частное проявление. В нестационарном случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «допплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение эффекта красного смещения для электромагнитного излучения может возникать при учёте возможности его нетривиального распространения в гравитационном поле: динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма и так далее, но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света $E = \hbar \omega$ в потенциальную в самой основе аппелирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Примечания

1. ↑ Мицкевич, Н. В. Системы отсчета: описание и интерпретация эффектов релятивистской физики / Н. В. Мицкевич // Итоги науки и техники / Гл. ред. Б. Б. Кадомцев. Научный редактор проф. В. Н. Мельников. — М.: ВИНИТИ, 1991. — Т. 3: Сер. Классическая теория поля и теория гравитации. — С. 108--165.
2. ↑ Эйнштейновский сборник 1967 (М.: Мир, 1967) Баранов Б. Г. Гравитационное красное смещение, с. 215
3. ↑ Напомним: $(1+x)^{b} = 1 +bx + \cdots$
4. ↑ Так как $~w^2$ и $~v^2$ по условию малы, то время $~\tau$ отличается от времени в неподвижной системе отсчёта t на величины второго порядка малости.
5. ↑ Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1 (М.: Наука, 1965, с. 502).
6. ↑ Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1 (М.: Наука, 1965, с. 110).
7. ↑ Мария-Антуанетта Тонела. «Частоты в общей теории относительности. Теоретические определения и экспериментальные проверки.» // Эйнштейновский сборник 1967 / Отв. ред. И. Е. Тамм и Г. И. Наан. — М.: Наука, 1967. — С. 175−214.)

Ссылки

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. «Гравитация, фотоны, часы». УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Р. В. Паунд, «О весе фотонов». УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.

Разделы физики
Экспериментальная физика | Теоретическая физика
Механика | Специальная теория относительности | Общая теория относительности | Космология | Молекулярная физика | Термодинамика | Статистическая физика | Физическая кинетика | Электродинамика | Оптика | Акустика | Физика плазмы | Физика конденсированного состояния | Атомная физика | Квантовая физика | Квантовая механика | Квантовая теория поля | Ядерная физика | Физика элементарных частиц | Теория колебаний | Нелинейная динамика | Метрология | Астрофизика | Геофизика | Биофизика | Радиофизика | Материаловедение | Физика атмосферы | Химическая физика | Физическая химия | Математическая физика