- Гармонический ряд
-
В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда[1]:
- .
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.[2]
Содержание
Сумма первых n членов ряда
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:
Некоторые значения частичных сумм
Формула Эйлера
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда[1]:
- ,
где — постоянная Эйлера — Маскерони, а — натуральный логарифм.
При значение , следовательно, для больших n:
- — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.
Пример использования формулы Эйлера , (%) 10 2,93 2,88 1,7 25 3,82 3,80 0,5 Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:
- , где — числа Бернулли.
Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.
Теоретико-числовые свойства частичных сумм
Сходимость ряда
- при
Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).
Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:
- ,
частичная сумма которого, очевидно, равна:
- .
Доказательство Орема
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Альтернативное доказательство расходимости
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
Тогда, перегруппируя дроби, получим:
Вынесем из второй скобки :
Заменим вторую скобку на :
Перенесём в левую часть:
Подставим обратно вместо сумму ряда:
Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.
- не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.
Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.
Частичные суммы
n-ая частичная сумма гармонического ряда,
называется n-ым гармоническим числом.
Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым[3].
Связанные ряды
Ряд Дирихле
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[1][4]
- .
Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1[4].
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:
Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.
Знакопеременный ряд
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
Это известно как ряд Лейбница.
Случайный гармонический ряд
Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел[5][6] свойства случайного ряда
где sn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.
«Истончённый» гармонический ряд
- Ряд Кемпнера (англ.)
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
Примечания
- ↑ 1 2 3 Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков и др. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — 847 с. стр. 139.
- ↑ Р.Грэхэм, Д.Кнут, О.Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 503003773X
- ↑ Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
- ↑ 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
- ↑ «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003
- ↑ Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series
- ↑ Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72
Категория:- Ряды
Wikimedia Foundation. 2010.