G2 (математика)

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

В математике G₂ — название нескольких групп Ли и связанной с ними алгебры Ли $\mathfrak{g}_2$. Это наименьшая из пяти особых простых групп Ли. G₂ имеет ранг 2 и размерность 14. Все её нетривиальные конечномерные линейные представления являются точными. Простейшее представление 7-мерно и является фундаментальным представлением, отвечающим короткому корню системы корней G₂.

Компактная форма G₂ является группой автоморфизмов алгебры октанионов (октав). Её можно также рассматривать как подгруппу группы SO(7), оставляющую на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).

Реализации

Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:

• Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G₂ сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G₂.
• Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
• Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебраические свойства

Схема Дынкина

Система корней G₂

Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Кокстера

Для алгебры G₂ это — группа диэдра D₁₂ 12 порядка.

Матрица Картана

$\begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix}$

Специальные голономии

G₂ — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G₂-голономией, называются править] Ссылки

• en:John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. Онлайн HTML версия.