142857

142857

142 857 — натуральное число, заключённое между 142856 и 142858.

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби $\frac{1}{7}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142857.

1 × 142857 = 142857

2 × 142857 = 285714

3 × 142857 = 428571

4 × 142857 = 571428

5 × 142857 = 714285

6 × 142857 = 857142

7 × 142857 = 999999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142857 или 999999:

000008 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142857)

000042 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999999)

142857 × 142857 = 20408122449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122449 + 20408 — получается 142857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142857, либо к 999999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на $\frac{5}{10}$ или на $\frac{2}{10}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142857 / 2 = 71428.5

142857 / 5 = 28571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

$857^2 = 734449\,$

$142^2 = 20164\,$

$734449 - 20164 = 714285\,$

Как период обыкновенной дроби

Число 142857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби $\frac{1}{7}$. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

1/7 = 0.14285714285714285714…

2/7 = 0.28571428571428571428…

3/7 = 0.42857142857142857142…

4/7 = 0.57142857142857142857…

5/7 = 0.71428571428571428571…

6/7 = 0.85714285714285714285…

Другие операции

Если число 142857 возвести в квадрат, то получится 20408122449. Если получившееся число разбить на две части 20408 и 122449 и сложить их, то получится исходное число 142857.

Если число 142857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Другие свойства

142857 является также Числом Харсхада и Числом Капрекара (см. последовательность A006886 в OEIS).