Теорема Гильберта 90


Теорема Гильберта 90

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа EÉK.

Содержание

Мультипликативная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K c образующей σ. Тогда норма любого элемента βÎ E равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент αÎ E, что β=α/σ(α).

Доказательство

Достаточность очевидна: если β=α/σ(α) то учитывая мультипликативность нормы имеем N(β)=N(α)/N(σ(α)). Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех σi(α), а предварительное применение σ приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N(β)=1.

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

id+βσ+(βσ(β))σ2+...+(βσ(β)...σn-2(β))σn-1

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является тождественным нулём. Поэтому существует элемент γÎ E, для которого

α=γ+βσ(γ)+(βσ(β))σ2(γ)+...+(βσ(β)(γ)...σn-2(β))σn-1(γ)

Если применить отображение σ к α, а потом помножить полученное выражение на β, то первое слагаемое перейдёт во второе и т.д., а последнее перейдёт в первое, так как βσ(β)...σn-1(β)=N(β)=1, а σn=id;

Тогда получаем, что βσ(α)=α, деля на σ(α)≠0 имеем β=α/σ(α). Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K c образующей σ. Тогда след любого элемента βÎ E равен 0 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент αÎ E, что β=α-σ(α).


Доказательство достаточости полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости берём элемент γÎ E, для которого Tr(γ)≠0 и строим требуемое α в виде:

α=(1/Tr(γ))[βσ(γ)+(β+σ(β))σ2(γ)+...+(β+σ(β)+...σn-2(β))σn-1(γ)]

Тогда получаем, что β=α-σ(α). Необходимость доказана.


Литература

  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема Гильберта 90" в других словарях:

  • Теорема Гильберта — Шмидта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором… …   Википедия

  • Теорема Гильберта-Шмидта — распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном… …   Википедия

  • Теорема Гильберта о нулях — (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как теорема о нулях ) теорема, устанавливающая фундаментальную связь между… …   Википедия

  • Теорема Гильберта о базисе — Теорема Гильберта о базисе  одна из основных теорем о нётеровых кольцах: Если R  нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово. Содержание 1 Доказательство 2 Следствия 3 …   Википедия

  • Теорема Гильберта о корнях — …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТА НЕРАВЕНСТВО — теорема Гильберта о двойных рядах: где и ряды в правой части имеют конечные положительные суммы, причем константа точная, т. е. не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert) доказал (*) без точной константы в своих лекциях но интегральным… …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТА ТЕОРИЯ — 1) Г. т. о базисе: если А коммутативное нётерово кольцо и кольцо многочленов от с коэффициентами в А, то и нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал… …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА РЯД — функциональный ряд где последовательность всех собственных значений симметричного ядра соответствующая последовательность ортонормированных собственных функций, а есть скалярное произведение произвольной суммируемой с квадратом функции и функции …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Бойяи — Гервина — утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Более формально: Пусть P и Q суть два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники и , так что для любого …   Википедия

  • Теорема Бойяи — Теорема Бойяи  Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Более формально: Пусть и суть два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники и , так что для… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Теорема Гильберта 90» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.