- Осцилляции Зенера — Блоха
-
Осцилляции Зенера — Блоха
Осцилляции Зенера — Блоха
Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля
, то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:
.
Где e - элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен
Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в
- пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).
Пусть поле
направлено вдоль вектора обратной решётки
, определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние K. Если
, где a - постоянная решетки, то циклическая частота равна:
.
Поскольку
A, для поля
В/м, то частота составляет около 1013 Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения
видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину eEa изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, что её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда Lz, пространственных осцилляций определяется шириной зоны Wb:
Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.
Волновая функция электрона в состоянии Зенера-Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку
уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:
-
где
- зонные функции Блоха. Теория возмущений даёт
Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая
Переходя от суммирования по
к интегрированию с помощью соотношения
и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:
-
откуда находим производные
как и
С тем, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция ck должна быть периодической. Если положить
где Wk = W0 - энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий
где n' - целое число, а
- вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение Wz, локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке
, откуда полагая
, находим
Волновые функции Блоха здесь принимают вид
Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля
:
где Wb- ширина зоны. Далее предполагаем, что функция
от
. Тогда
где Jn(z)- функция Бесселя, n- целое число, а поле направлено вдоль оси x. У точки x = x0 функция Jn(z) ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины π / 2a, то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда
, асимптотическое разложение даёт
где Lz- классическая амплитуда пространственных осцилляций, а en- основание натуральных логарифмов. Ясно, которые у | x0 − x | > enLz / 2 волновая функция очень быстро затихают. Она уменьшается и
, достигая максимума при | x0 − x | = Lz / 2. Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора - она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия
- ωzτ > 1,
где τ- время между столкновениями. Обычно расчет времени τ проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения τ около 10 − 13 с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера-Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около 10 − 13. С целью необходимо создать поля превысят
В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.
Литература
- Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках: Пер. с англ. М.:Мир, 1986.
- Zener C. Proc.Roy.Soc.А, v.145, p.523, 1934.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.
Осцилляции Зенера — Блоха Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля , то перемещения электрона в k пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона: . Где элементарный заряд (в этих обозначениях заряд… … Википедия
Осцилляции Блоха — явление в физике твёрдого тела. Оно описывает осцилляции частицы (например, электрона), находящегося в периодическом потенциале (например, таким потенциалом является кристаллическая решётка) под действием некоторой постоянной силы (например… … Википедия
Треугольная квантовая яма — Треугольная потенциальная яма это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального … Википедия