Парадокс Клейна (графен)

Не путать с Парадоксом Клейна

Графен

$\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla$

Уравнение Дирака для графена

Введение ... Математическая формулировка ...

Основа Квантовая механика · Уравнение Дирака Нейтрино · (2+1)-мерная КЭД · Постоянная тонкой структуры · Фаза Берри · Углеродные нанотрубки Фундаментальные понятия Зонная структура · Уравнение Дирака · Киральность · Гексагональная решётка · Волновая функция · Точка электронейтральности · Видимость графена · Фаза Берри · Двухслойный графен Получение и технология Получение графена · Механическое отшелушивание · Химическое расщепление графита · Рост графеновых плёнок · Подвешенный графен · Верхний затвор Применения Графеновый полевой транзистор Графеновые наноленты Транспортные свойства Электроны и дырки · Проводимость · Фононы· Парадокс Клейна · Линза Веселаго · 1/f · Дробовой шум Случайный телеграфный сигнал · p — n переход · Ферми жидкость Магнитное поле Магнетосопротивление · Осцилляции Шубникова — де Гааза · КЭХ · Спиновый квантовый эффект Холла · ДКЭХ · Осцилляции Вейса · Магнетоэкситоны · Сверхпроводимость · Слабая локализация · Эффект Ааронова — Бома Оптика графена Рамановское рассеяние света · α Известные учёные Андре Гейм · Константин Новосёлов

См. также: Портал:Физика

Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в работе^[1] для прямоугольного барьера, но экспериментально не наблюдался.

Теория

Коэффициент прохождения (в зависимости от угла падения) через симметричный прямоугольный барьер (энергия частиц 0,04 эВ), при изменении ширины барьера от 25 нм до 150 нм в полярных координатах.

Квазичастицы в графене описываются двумерным гамильтонианом для безмассовых дираковских частиц

$\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla,$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $v_F$ — Ферми скорость, $\sigma=(\sigma_x,\sigma_y)$ — вектор оставленный из матриц Паули, $\nabla=(\nabla_x,\nabla_y)$ — оператор набла. Пусть есть потенциальный барьер с высотой $V_0$ и шириной $D$, а энергия налетающих частиц равна $E$. Тогда из решения уравнения Дирака для областей слева барьера (индекс I), в самом барьере (II) и справа от барьера (III) запишутся в виде плоских волн как для свободных частиц:

$\psi_I(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i\phi} \end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)}+\frac{r}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i(\pi-\phi)} \end{pmatrix}e^{i(-k_xx+k_yy)},$

$\psi_{II}(\mathbf{r})=\frac{a}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ s'e^{i\theta} \end{pmatrix}e^{i(q_xx+k_yy)}+\frac{b}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ s'e^{i(\pi-\theta)} \end{pmatrix}e^{i(-q_xx+k_yy)},$

$\psi_{III}(\mathbf{r})=\frac{t}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i\phi} \end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)},$

где приняты следующие обозначения для углов $\phi=\arctan{(k_y/k_x)}$, $\theta=\arctan{(k_y/q_x)}$, и волновых векторов в I-ой и III-ей областях $k_x=k_F\cos{\phi}$, $k_y=k_F\sin{\phi}$, и во II-ой области под барьером $q_x=\sqrt{(V_0-E)^2/\hbar^2v_F^2-k_y^2}$, знаков следующих выражений $s=\mathrm{sign}(E)$ и $s'=\mathrm{sign}(E-V_0)$. Неизвестные коэффициенты $r$, $t$ амплитуды отражённой и прошедшей волны соответственно находятся из непрерывности волновой функции на границах потенциала.

Для коэффициента прохождения как функции угла падения частицы получено следующее выражение^[2]

$T(\phi)=\frac{\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}}{[\cos{(Dq_x)}\cos{\phi}\cos{\theta}]^2+\sin^2{(Dq_x)[1-ss^{'}\sin{\phi}\sin{\theta}]^2}}.$

На рисунке справа показано как изменяется коэффициент прохождения в зависимости от ширины барьера. Показано, что максимальная прозрачность барьера наблюдается при нулевом угле всегда, а при некоторых углах возможны резонансы.

Примечания

1. ↑ Katsnelson M. I., et. al. „Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene“ Nature Physics 2, 620 (2006) DOI:10.1038/nphys384 Препринт
2. ↑ Castro Neto A. H. cond-mat