Парадокс Клейна (графен)


Парадокс Клейна (графен)

Не путать с Парадоксом Клейна

 Просмотр этого шаблона  Графен
\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla
Уравнение Дирака для графена
Введение ...

Математическая формулировка ...

См. также: Портал:Физика

Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в работе[1] для прямоугольного барьера, но экспериментально не наблюдался.

Теория

Коэффициент прохождения (в зависимости от угла падения) через симметричный прямоугольный барьер (энергия частиц 0,04 эВ), при изменении ширины барьера от 25 нм до 150 нм в полярных координатах.

Квазичастицы в графене описываются двумерным гамильтонианом для безмассовых дираковских частиц

\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla,

где \hbar — постоянная Планка, v_F — Ферми скорость, \sigma=(\sigma_x,\sigma_y) — вектор оставленный из матриц Паули, \nabla=(\nabla_x,\nabla_y) — оператор набла. Пусть есть потенциальный барьер с высотой V_0 и шириной D, а энергия налетающих частиц равна E. Тогда из решения уравнения Дирака для областей слева барьера (индекс I), в самом барьере (II) и справа от барьера (III) запишутся в виде плоских волн как для свободных частиц:


\psi_I(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1  \\
se^{i\phi} 
\end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)}+\frac{r}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1  \\
se^{i(\pi-\phi)} 
\end{pmatrix}e^{i(-k_xx+k_yy)},

\psi_{II}(\mathbf{r})=\frac{a}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1  \\
s'e^{i\theta} 
\end{pmatrix}e^{i(q_xx+k_yy)}+\frac{b}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1  \\
s'e^{i(\pi-\theta)} 
\end{pmatrix}e^{i(-q_xx+k_yy)},

\psi_{III}(\mathbf{r})=\frac{t}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1  \\
se^{i\phi} 
\end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)},

где приняты следующие обозначения для углов \phi=\arctan{(k_y/k_x)}, \theta=\arctan{(k_y/q_x)}, и волновых векторов в I-ой и III-ей областях k_x=k_F\cos{\phi}, k_y=k_F\sin{\phi}, и во II-ой области под барьером q_x=\sqrt{(V_0-E)^2/\hbar^2v_F^2-k_y^2}, знаков следующих выражений s=\mathrm{sign}(E) и s'=\mathrm{sign}(E-V_0). Неизвестные коэффициенты r, t амплитуды отражённой и прошедшей волны соответственно находятся из непрерывности волновой функции на границах потенциала.

Для коэффициента прохождения как функции угла падения частицы получено следующее выражение[2]

T(\phi)=\frac{\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}}{[\cos{(Dq_x)}\cos{\phi}\cos{\theta}]^2+\sin^2{(Dq_x)[1-ss^{'}\sin{\phi}\sin{\theta}]^2}}.

На рисунке справа показано как изменяется коэффициент прохождения в зависимости от ширины барьера. Показано, что максимальная прозрачность барьера наблюдается при нулевом угле всегда, а при некоторых углах возможны резонансы.

Примечания

  1. Katsnelson M. I., et. al. „Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene“ Nature Physics 2, 620 (2006) DOI:10.1038/nphys384 Препринт
  2. Castro Neto A. H. cond-mat

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Парадокс Клейна (графен)" в других словарях:


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.