Гомоморфизм

Не следует путать с гомеоморфизмом.

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы $~(G_1,*)$, $~(G_2,\times)$. Отображение $~f \colon G_1 \to G_2$ называется гомоморфизмом групп $~G_1$ и $~G_2$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: $~f(a*b)=f(a)\times f(b)$.

Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков N. Bourbaki в их книге «Теория множеств» (Глава 5).

Связанные определения

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма
  • для гомоморфизма абелевых групп (в частности для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
  • для общих групп — прообраз единицы.

Свойства

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
• Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм

• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Автоморфизм — взаимно однозначный гомоморфизм в само множество

См. также

• Факторгруппа

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, стр. 332 (1974, стр. 373).