Многочлены Эрмита

Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.

Определение

Графики многочленов Эрмита порядка $n=0,1,...,5$ (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

$H_n^\mathrm{math}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!$;

в физике обычно используется другое определение:

$H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!$.

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

$H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{math}(\sqrt{2}\,x)\,\!$.

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=x\,$

$H_2(x)=x^2-1\,$

$H_3(x)=x^3-3x\,$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3\,$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,$ .

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=2x\,$

$H_2(x)=4x^2-2\,$

$H_3(x)=8x^3-12x\,$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,$

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: $H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,$

Свойства

Многочлен $H_n(x)$ содержит члены только той же чётности, что и само число $n$:

$H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~ n=0,1,2, \ldots$.

При $x=0$ верны такие соотношения:

$H_{2n}(0)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots$.

Уравнение $H_n(x)=0$ имеет $n$ действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины $\sqrt{n(n-1)/2}$. Корни многочлена $H_n(x)=0$ чередуются с корнями многочлена $H_{n+1}(x)=0$.

Многочлен $H_n(x)$ можно представить в виде определителя матрицы $n \times n$:

$H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right |$

Формула сложения

Имеет место следующая формула сложения многочленов Эрмита:

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.$

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

• $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$, $x_1=x_2=\cdots =x_n$. Тогда

$n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)$.

• $n=2$, $a_1=a_2=1$, $x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y$. Тогда

$2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_r(x)H_s(x)$.

Дифференцирование и рекуррентные соотношения

Производная $k$-ого порядка от многочлена Эрмита $H_n(x)$, $n\ge k$ также есть многочлен Эрмита:
$\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,$
Отсюда получается соотношение для первой производной
$H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=nH_{n-1}(x)$
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2$
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-2xH_{n-1}(x)+2(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2$

Ортогональность

Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале $(-\infty,+\infty)$ с весом $e^{-x^2}\,\!$:

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^n n! \sqrt{\pi}~\delta_{\mathit{nm}}$,

где $\delta_{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого $p$ справедлива запись

$\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).$

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, $f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x)$,которые называются отношениями Нильса Нильсона:

$A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}$

Например, более, чем очевидно, что разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

${}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},$

где ${}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x)$ —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, $\Gamma(x)$ — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент $f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},$ можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.$

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

$\mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

$\cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

Дифференциальные уравнения

Многочлены Эрмита $H_n(x)$ являются решениями линейного дифференциального уравнения:

$y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,$

Если $n$ является целым числом, то общее решение выше приведённого уравнения записывается как

$y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)\,$,

где $A,B$ — произвольные постоянные, а функции $h_n(x)$ называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций $e^{x^2/2}$ и $\int_0^x e^{z^2/2}dz$.

Представления

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

$H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz$

где $\Gamma$ — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy$.

Связь с другими специальными функциями

• Связь с функцией Куммера:

  $H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )$

• Связь с многочленами Лагерра:

  $H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)\,\!$

Применение

• В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:

$\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x)$.

Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям $\lambda_n=2n+1$. Нормированые на единицу, они записываются как

$\psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots~$.

В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита $H_n^*(x)$.

• Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности $u_t-u_{xx}=0$ на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции $u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t}$. Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по $\alpha$:

$e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t)$,

то функции $P_n(x,t)$, которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию $P_n(x,t=0)=x^n$, выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:

$P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy$.

Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.

• В лазерной физике, а точнее - в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита-Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews