Золотое сечение

У этого термина существуют и другие значения, см. Золотое сечение (значения).

Иррациональные числа γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон

Иллюстрация к определению.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

$\varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887\dots$

и, наоборот, отношение меньшей части к большей

$\frac{1}{\varphi} = \frac{ \sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}6180339887\dots$

Число $\varphi$ называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных^[1][2][3].

Математические свойства

• $\varphi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, откуда, в частности, следуют соотношения:

  $\varphi^2 = \varphi + 1,$

  $\varphi\cdot (\varphi - 1) = 1,$

  $\varphi = \cfrac{1}{\varphi} + 1.$

• $\varphi$ — представляется через тригонометрические функции:

  $\varphi = 2 \cos \frac{\pi}5 = 2 \cos 36^\circ.$

  $\varphi = 2 \sin (3\pi/10) = -2 \sin 666^circ = 2 \sin 54^\circ.$

Золотое сечение в пятиконечной звезде

Построение золотого сечения

Мозаика Пенроуза

• $\varphi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  $\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.$

• $\varphi\;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  $\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи $\frac{F_{n+1}}{F_n}$. Таким образом,

• $\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.$

• Мера иррациональности $\varphi$ равна 2.

• $\varphi\;$ является знаменателем геометрической прогрессии, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны $\varphi$).

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $AB$, откладывают на нём отрезок $BC$, равный половине $AB$, на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD$, равный $BC$, и наконец, на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE$, равный $AD$. Тогда

$\varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}.$

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

Золотое сечение и гармония в искусстве

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.

Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

• Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»^{[источник не указан 1237 дней]}.

Примеры сознательного использования

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах^[4].

• Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних — в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения.^{[источник?]}

• Предполагается, что, возможно, при возведении Пирамиды Хеопса также использован принцип «золотого сечения».

См. также

• Пифагорейский пентакл
• Фибоначчиева система счисления
• Правило третей
• Метод золотого сечения
• Квадратный корень из 5 → Золотое сечение

Примечания

1. ↑ Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
2. ↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
3. ↑ Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
4. ↑ Золотой запас зодчества

Литература

• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973.
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

Ссылки

	Golden ratio на Викискладе?

• В. С. Белянин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• В. Лаврус, Золотое сечение
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве