Система линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида


\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
(1)
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными[1]. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Содержание

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}

или:

Ax = b.

Здесь A — это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b — столбец свободных членов. Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений

 A \bold{x} \ = \bold{b}

эквивалентна системе

  C A \bold{x} \ = C \bold{b} ,

где C — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица A — невырожденная, и для неё существует обратная матрица  A^{-1} , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

 \bold{x} = A^{-1} \bold{b} .

Методы решения

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

Итерационные методы

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

 \bold{x} = A^\prime \bold{x} + \bold{b}^\prime ,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации  \bold{x} в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

 \bold{x}_{n+1} = A^\prime \bold{x}_n + \bold{b}^\prime .

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

См. также

Примечания

  1. В рамках данной статьи коэффициенты системы, свободные члены и неизвестные считаются действительными числами, хотя они могут быть комплексными или даже сложными математическими объектами с условием, что для них определены операции умножения и сложения.
  2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
  3. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Система линейных алгебраических уравнений" в других словарях:

  • Прямоугольная система линейных алгебраических уравнений — Определение Для системы из уравнений с неизвестными ( ) любые переменных называются базисными, если определитель составленный из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля (остальные переменных называются свободными). Базисным решением… …   Википедия

  • Система линейных уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений …   Википедия

  • Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример …   Википедия

  • Система уравнений — У этого термина существуют и другие значения, см. Система (значения). Система уравнений  это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида… …   Википедия

  • Квадратная система уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений …   Википедия

  • Определенная система уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений …   Википедия

  • Линейная система — Не следует путать с Система линейных алгебраических уравнений. Линейная система математическая модель системы, оператор которой обладает свойством линейности. Необходимые условия линейности Гомогенность – при изменении амплитуды входного сигнала… …   Википедия

  • Система компьютерной алгебры — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Викифицировать список литературы, используя …   Википедия

  • Метод конечных элементов — Решение методом конечных элементов двухмерной магнитостатической задачи (линии и цвет означают направление и величину магнитной индукции) …   Википедия

  • Метод Гаусса — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация). Метод Гаусса[1]  классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»