Закон Гука

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke)^[1]. Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$\! F = k \Delta l.$

Здесь $F$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, $\Delta l$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а $k$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$) явно, записав коэффициент упругости как

$k = \frac{ES} L.$

Величина $E$ называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

$\varepsilon = \frac{\Delta l} L$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$\sigma = \frac F S ,$

то закон Гука в относительных единицах запишется как

$\sigma = E\varepsilon \ .$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

$\Delta l = \frac{FL} {ES}.$

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга $C_{ijkl}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора $C_{ijkl}$, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

$\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},$

где $\sigma_{ij}$ — тензор напряжений, $\varepsilon_{kl},$ — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор $C_{ijkl}$ содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

См. также

• Коэффициент Пуассона
• Тензор напряжений
• Тензор деформации
• Теория упругости

Примечания

1. ↑ Гука закон. Статья в физической энциклопедии.

Ссылки

• Закон Гука на опыте (видео)

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.