Симплекциальный объём

Симплекциальный объём — топологический инвариант определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплекциальный объём многообразия $M$ обычно обозначается $|M|$.

Определение

Пусть $M$ — замкнутое многообразие, тогда :$|M|=infsum\_i|r\_i|$где $r\_i$ рациональные коеффициенты в предсатвлении его фундаментального класса $[M]$ через сумму сингулярных симплексов.:$[M]\; =sum\_i\; r\_iDelta\_i.$

Свойства

*Теорема Громова: Симплекциальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
*Для любых многообразий $M$ и $N$ той же размерности
*:$|\; M\#N|=\; |\; M|+|N|$:где $\#$ обозначает связую сумму.
*Существуют положительные числа $a(m)$ и $b(m)$ такие что если сумма размерностей $dim\; M+dim\; Nle\; m$ то
*:$a(m)|\; M|\; imes\; |N|le\; |\; M\; imes\; N|le\; b(m)|\; M|\; imes\; |N|$:где $imes$ обозначает прямое произведение.
*Для любого отображения $f:M\; o\; N$
*:$|M|ge\; (deg\; f)|M|$. В частности,
**Если многообразие $M$ допускает отображение $M\; o\; M$ степени $>\; 1$ то $|M|=0$.
**Для любого $nge\; 1$ симплекциальный объём $n$-мерной сферы равен $0$.