Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)

Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось ($a\,\!$),
• эксцентриситет ($e\,\!$),
• наклонение ($i\,\!$),
• аргумент перицентра ($\omega\,\!$),
• долгота восходящего узла ($\Omega\,\!$),
• средняя аномалия ($M_o\,\!$).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

Большая полуось — это половина главной оси эллипса $|AB|$ (обозначена на рис.2 как $a$). В астрономии характеризует среднее расстояние небесного тела от фокуса

Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается «$e$» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.^[1] Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

$\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$, где $b$ — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

• $\varepsilon = 0$ — окружность
• $0 < \varepsilon < 1$ — эллипс
• $\varepsilon = 1$ — парабола
• $1 < \varepsilon < \infty$ — гипербола
• $\varepsilon = \infty$ — прямая (вырожденный случай)

Наклонение

A — Объект
B — Центральный объект
C — Плоскость отсчёта
D — Плоскость орбиты
i — Наклонение

Наклонение орбиты (накло́н орбиты, накло́нность орбиты, наклоне́ние) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если $0<i<90$°, то движение небесного тела называется прямым^[2].

Если $90$°$<i<180$°, то движение небесного тела называется обратным.

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ($\omega\,\!$).

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для тел, обращающихся вокруг Солнца, базовая плоскость — эклиптика, а нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия); угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊, или Ω.

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия $M\,\!$ вычисляется по следующим формулам:

$M = M_0 + n(t-t_0)\,\!$

где:

• $M_0\,\!$ — средняя аномалия на эпоху $t_0\,\!$,
• $t_0\,\!$ — начальная эпоха,
• $t\,\!$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• $n\,\!$ — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

$M=E - e \cdot \sin E\,\!$

где:

• $E\,\!$ — это эксцентрическая аномалия ($E$ на рис.3),
• $e\,\!$ — это эксцентриситет.

Вычисление кеплеровых элементов

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения $\mathbf r_0(x_0,y_0,z_0)$ и вектор скорости $\mathbf \dot r(\dot x_0, \dot y_0, \dot z_0)$ на момент времени $t$. Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

$r^2_0 = x^2_0 + y^2_0 + z^2_0$

$\dot r^2_0 = \dot x^2_0 + \dot y^2_0 + \dot z^2_0$

$r_0 \cdot \dot r_0 = x_0 \cdot \dot x_0 + y_0 \cdot \dot y_0 + z_0 \cdot \dot z_0$

По интегралу энергии:

(1) $\frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}{k}$, где k — гравитационный параметр равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела, для Земли K = 3,986005·10⁵ км³/c², для Солнца K = 1,32712438·10¹¹ км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим $a$.

Примечания

1. ↑ А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
2. ↑ То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля

См. также

• Элементы орбиты