Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.$

Вместо $\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3$ иногда используют обозначение $\sigma_x, \sigma_y,\sigma_z.$

Часто также употребляют матрицу

$\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},$

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей $\sigma_0$ образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства

Основные соотношения

• Эрмитовость: $\sigma_i^\dagger = \sigma_i;$
• Равенство нулю следа: $\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \quad \ i = 1, 2, 3$
• $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0= I,$ где $I= \sigma_0$ — единичная матрица размерности 2×2.
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами $\sigma_0, -i\sigma_x, -i\sigma_y, -i\sigma_z$, изоморфна алгебре кватернионов $\lang 1,i,j,k\rang$.

Правила умножения матриц Паули

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\!$ для $i\ne j.\,\!$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

$\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad i,j,k = 1, 2, 3$,

где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0. \end{matrix}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц $i\sigma_k\!$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц $i\sigma_k\;.$ Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы $i\sigma_j/2\!$ представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули^[1] как

$(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}$

$(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}$

$~(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma$

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор^[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания

1. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2
2. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5