Матрицы Паули


Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид


\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},

\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},

\sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

Вместо \sigma_1, \sigma_2,\sigma_3 иногда используют обозначение \sigma_x, \sigma_y,\sigma_z.

Часто также употребляют матрицу


\sigma_0 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей \sigma_0 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Содержание

Свойства

Основные соотношения

Правила умножения матриц Паули

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\! для i\ne j.\,\!

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad  i,j,k = 1, 2, 3,

где \delta_{ij} — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0.
\end{matrix}

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц i\sigma_k\! совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц i\sigma_k\;. Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы i\sigma_j/2\! представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

~(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Матрицы Паули" в других словарях:

  • ПАУЛИ МАТРИЦЫ — двухрядные комплексныеэрмитовы матрицы Введены В. Паули (W. Pauli, 1927) для описаниясобств. механич. момента ( спина) имагн. момента электрона (см. Паули уравнение). Благодаря перестановочным с …   Физическая энциклопедия

  • ПАУЛИ УРАВНЕНИЕ — уравнение нерелятивистской квант. механики, описывающее движение заряж. ч цы со спином 1/2 (напр., эл на) во внеш. эл. магн. поле. Предложено швейц. физиком В. Паули в 1927. П. у. явл. обобщением Шредингера уравнения, учитывающим наличие у ч цы… …   Физическая энциклопедия

  • ПАУЛИ МАТРИЦЫ — двурядные комплексные постоянные эрмитовы матрицы коэффициентов. Введены В. Паули (W. Pauli, 1927), для описания спинового механич. момента (спина ) и магнитного момента электрона. Это уравнение корректным образом в нерелятивистском случае… …   Математическая энциклопедия

  • Матрицы Дирака — (также известные как гамма матрицы) набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике. Содержание 1 Определение 1.1 Пятая гамма матрица …   Википедия

  • ДИРАКА МАТРИЦЫ — четыре эрмитовы матрицы ak, k=i.2, 3, и b размера , удовлетворяющие условиям где Е единичная матрица размера 4X4. Вместо матриц ak,b используются также эрмитовы матрицы lk= ibak, k=1, 2,3, и антиэрмитова матрица g0=ib, удовлетворяющие условиям… …   Математическая энциклопедия

  • Дирака уравнение — Уравнение Дирака квантовое уравнение движения электрона, удовлетворяющее требованиям теории относительности, применимое также для описание других точечных фермионов со спином 1/2; установлено П. Дираком в 1928. Содержание 1 Вид уравнения 2… …   Википедия

  • Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для би спинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено П. Дираком в 1928. Содержание 1 Вид уравнения 2 Физический смысл …   Википедия

  • ОПЕРАТОРЫ — в квантовой теории, понятие, широко используемое в матем. аппарате квант. механики и квант. теории поля. О. служат для сопоставления с определ. волновой функцией (или вектором состояния) y другой определ. ф ции (вектора) y . Соотношение между y и …   Физическая энциклопедия

  • Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь …   Википедия

  • Графен — Пожалуйста, актуализируйте данные В этой статье данные предоставлены преимущественно за 2007 2008 гг …   Википедия