Принцип неопределённости Гейзенберга

Принцип неопределённости Гейзенберга
Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости Гейзенберга
Введение
Математические основы
См. также «Физический портал»


Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Содержание

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Согласно принципу неопределённостей, частица[* 2] не может быть описана как классическая частица, то есть например у нее не могут быть одновременно точно измерено положение и скорость (импульс)[* 3], так же как у обычной классической волны и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки), ни определённым значением импульса (включая его направление; в примере с частицей в коробке модуль импульса определен, но не определено его направление).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике есть в математическом смысле есть непосредственное прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье[* 4].

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что p_x = \hbar k_x (или px = kx в системе единиц \hbar = 1), то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.


В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение \hbar чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей[* 5] наших приборов или органов чувств.

Определение

Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp импульса, мы найдем что:

 \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} ,

где \hbar — приведённая постоянная Планка.

  • В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе \hbar.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Варианты и примеры

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: A\colon H \to H и B\colon H \to H, и любого элемента x из H такого, что ABx и BAx оба определены (то есть, в частности, Ax и Bx также определены), имеем:

 \langle x|AB|x \rangle \langle x|BA|x \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2 \leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle\right| \left|\langle Bx|Bx\rangle\right| = \|Ax\|^2\|Bx\|^2

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

 \frac{1}{4} |\langle x|AB-BA|x \rangle|^2 \leqslant \|Ax\|^2\|Bx\|^2.

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор ABBA называют коммутатором A и B и обозначают как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, A и B — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:

 \Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B \geqslant \frac{1}{2}\left|\left\langle\left[A,{B}\right]\right\rangle_\psi\right|,

где:

\left\langle X\right\rangle_\psi = \left\langle\psi|X|\psi\right\rangle

— среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

\Delta_{\psi}X = \sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}

— оператор стандартного отклонения величины X в состоянии ψ системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

  • самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:
 \Delta x_i \Delta p_i \geqslant \frac{\hbar}{2}
 \Delta J_i \Delta J_j \geqslant \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right |
где i, j, k различны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.
  • следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
 \Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}
  • Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряженных оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента Lz и оператор азимутального угла \varphi. Первый из них является самосопряженным только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор \varphi, очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо \varphi взять sin φ, что приведет к следующей форме принципа неопределенности[** 1]:
 \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \sin \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4} \langle (\cos \varphi)^2 \rangle .
Однако, при \langle (\varphi)^2 \rangle \ll \pi^2 условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид:
 \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4}.

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера — Рао в классической теории измерений, в случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера. См. также полная физическая информация.

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости» [** 2]. Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать»[** 3].

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости: Квантового физика останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Примечания

  1. Для каждой пары сопряженных величин имеется свое соотношение неопределенностей, хотя и имеющее один и тот же вид ΔA·ΔB \geqslant\hbar; поэтому этот термин часто употребляются во множественном числе (соотношения неопределенностей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределенностей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
  2. Имеется в виду квантовая частица, а следовательно — с точки зрения современной физики — в принципе любая частица.
  3. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
  4. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и ее фурье-образ (спектр) F(k) — то есть f(x) = \int F(k) e^{ikx} dk. Очевидно, что если мы «сожмем функцию f» по x в A раз, то есть перейдем к функции fA(x)=f(Ax)), то ее спектр растянется во столько же раз: FA(k)=const·F(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники eikx этого разложения должны будут очевидно умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределенностей Гейзенберга, только без \hbar в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношению неопределенностей Гейзенберга при \hbar = 1).
  5. Здесь имеются в виду погрешности, имеющие не квантовую природу, а происходящих из недостаточной тонкости изготовления, влияния тепловых и других шумов итп.

Литература

Использованная литература

  1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — М.: Наука, 1973.
  2. Точнее: «Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убежден, что [он] не играет в кости» (Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
  3. Chad Meister Introducing philosophy of religion

Журнальные статьи

О соотношениях неопределенностей Шредингера

Ссылки

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Принцип неопределённости Гейзенберга" в других словарях:

  • Принцип неопределённости —     Квантовая механика …   Википедия

  • Неопределённость Гейзенберга — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Неопределённость — Неопределённость  отсутствие или недостаток определения или информации о чём либо. Неопределённость может проявляться в разных областях: Неопределённость измерений (погрешность) в метрологии. Принцип неопределённости Гейзенберга в квантовой… …   Википедия

  • Принцип неопределенности Гейзенберга — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Неопределённостей соотношение — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Принцип неопределенности — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Принцип Паули — Эта статья о квантовой физике. О сходной по названию шутке научного юмора см. Эффект Паули.     Квантовая м …   Википедия

  • Принцип запрета — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Принцип запрета Паули — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Принцип исключения Паули — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.