Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики. Другими словами, это общая часть евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского ^[1].

Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём несколько примеров таких теорем:

• У равнобедренных треугольников углы при основании равны.
• При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
• Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.

Поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.

Примерами других теорем, недоказуемых в абсолютной геометрии, являются многочисленные эквиваленты V постулата.

Примечания

1. ↑ Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. (ред.) Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. 1981. М.: Наука, том 2, С.64-65.

Литература

• Больаи Я. Аппендикс. В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.
• Гильберт Д. Основания геометрии. — Л., Сеятель, 1923. 152 с.