Идеальное число


Идеальное число

Идеальные числа были введены Куммером и послужили отправной точкой для определения идеалов колец, введённых позже Дедекиндом. В настоящее время этот термин не используется и заменён понятием идеала.

Идеал в кольце является главным, если он состоит из элементов, кратных некоторому элементу, иначе он неглавный. Таким образом каждому числу кольца можно сопоставить главный идеал, при этом можно предположить существование идеальных чисел, которым бы соответствовал произвольный идеал.

Содержание

Пример

Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля \Bbb{Q}(y) — это \Bbb{Z}[y], то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к \Bbb{Q}(y), что даёт \Bbb{Q}(y,w). Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это \iota = (-8-16y-18w+12w^2+10yw+yw^2)/23. Так как оно удовлетворяет уравнению \iota^6-2\iota^5+13\iota^4-15\iota^3+16\iota^2+28\iota+8 = 0, то оно алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι дающие \Bbb{Z}[y] имеют вид aα + bβ, где

\alpha = (-7+9y-33w-24w^2+3yw-2yw^2)/23

и

\beta = (-27-8y-9w+6w^2-18yw-11yw^2)/23.

Коэффициенты α и β также алгебраические целые числа, удовлетворяющие

\alpha^6+7\alpha^5+8\alpha^4-15\alpha^3+26\alpha^2-8\alpha+8=0\,

и

\beta^6+4\beta^5+35\beta^4+112\beta^3+162\beta^2+108\beta+27=0\,

соответственно. Умножая aα + bβ на идеальное число ι, получаем 2a + by, что является неглавным идеалом.

История

Куммер впервые написал о возможности неединственного разложения на множители в циклотомических (круговых) полях в 1844 году в малоизвестном журнале; статья была повторена в 1847 году в журнале Лиувилля. В дальнейших работах в 1846 году и 1847 году он опубликовал свою основную теорему о единственности разложения на (действительные и идеальные) простые множители.

Считается, что Куммер пришел к идее «идеальных комплексных чисел» при изучении Великой теоремы Ферма; рассказывают даже, что Куммер, как и Ламэ, считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Дирихле не сказал ему, что его доводы опираются на единственность факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хенселем в 1910 и, скорее всего, появилась из ошибки в одном из источников Хенселя. Гарольд Эдвардс сказал, что вера в то, что Куммер всерьез интересовался Последней теоремой Ферма, «несомненно ошибочна».

Обобщение идей Куммера было осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с серьёзными трудностями, что привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов. Кронекер справился с трудностями, развив теорию форм (обобщение квадратичных форм) и теорию дивизоров. Работы Дедекинда легли в основу теория колец и абстрактной алгебры, а работы Кронекера создали главный инструмент алгебраической геометрии.

См. также

Литература

  • Николя Бурбаки, Элементы истории математики. Springer-Verlag, NY, 1999.
  • Гарольд М. Эдвардс, Последняя теорма Ферма. Общее введение в теорию чисел. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
  • К. Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
  • E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reprinted in Jour. de Math. 12 (1847) 185—212.
  • E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327—367.
  • Джон Стилвелл, введение в Теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Идеальное число" в других словарях:

  • идеальное число — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN perfect number …   Справочник технического переводчика

  • ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО — элемент полугруппы D дивизоров кольца Ацелых чисел нек рого поля алгебраич. чисел. Полугруппа D коммутативная свободная полугруппа с единицей; ее свободные образующие наз. простыми идеальными числами. В современной терминологии И. ч. наз. целыми… …   Математическая энциклопедия

  • Идеальное число —         см. Идеал (математический) …   Большая советская энциклопедия

  • ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО ДЕТЕЙ — ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО ДЕТЕЙ, представление индивида о наилучшем числе детей в семье вообще, без учёта конкретной жизненной ситуации и личных предпочтений. И. ч. д. один из элементов общего комплекса представлений об идеальном образе жизни. В рамках… …   Демографический энциклопедический словарь

  • Идеальное общество по Муаммару Каддафи — Муаммар Каддафи выдвинул системную идею общественного устройства, которая нашла частичное воплощение в Ливии. Как и предшественники, начиная с Платона, Каддафи искал идеальную форму общественного сосуществования, при котором наряду с социальной… …   Википедия

  • 5040 (число) — 5040 пять тысяч сорок 5037 · 5038 · 5039 · 5040 · 5041 · 5042 · 5043 5010 · 5020 · 5030 · 5040 · 5050 · 5060 · 5070 Факторизация: 24×32×5×7 Римская запись: VXL Двоичное: 1001110110000 Восьмеричное: 11660 Шестнадцатеричное …   Википедия

  • СОЦИОЛОГИЯ СЕМЬИ — отрасль социологии, изучающая С. ( Семья) социальную систему воспроизводства человека, основанную на кровном родстве, браке или усыновлении, и объединяющую людей общностью быта, взаимной моральной ответственностью и взаимопомощью. Одна из… …   Социология: Энциклопедия

  • УНИВЕРСАЛИИ — (от лат. universalis общий) общие понятия. В филос. проблеме онтологического и гносеологического статуса У. ставится вопрос о том, что такое реальное бытие, каким образом существует идеальное, как возможно рациональное понятийное познание, как… …   Философская энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • СОЦИОЛOГИЯ РОЖДАЕМОСТИ — СОЦИОЛOГИЯ РОЖДАЕМОСТИ, исследование на стыке социологии, демографии и социальной психологии социально экон. обусловленности изменений рождаемости, рассматриваемых во взаимодействии общества и личности. С. р. разрабатывает широкий круг проблем,… …   Демографический энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Идеальное число» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.