Сила Кориолиса

Запрос «Эффект Кориолиса» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

При вращении диска более далёкие от центра точки движутся с большей касательной скоростью, чем менее далёкие (группа чёрных стрелок вдоль радиуса). Переместить некоторое тело вдоль радиуса так, чтобы оно оставалось на радиусе (синяя стрелка из положения «А» в положение «Б») можно, увеличив скорость тела, то есть придав ему ускорение. Если система отсчёта вращается вместе с диском, то видно, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «пытается» уйти влево — это и есть сила Кориолиса.

Траектории шарика при движении по поверхности вращающейся тарелки в разных системах отсчета (вверху — в инерциальной, внизу — в неинерциальной).

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, описавшего его в 1833 году. Следует, однако, отметить, что первым математическое выражение для силы получил, видимо, Пьер-Симон Лаплас ещё в 1775 году^[1]. Сам же эффект отклонения движущихся объектов во вращающихся системах отсчётах был описан Джованни Баттиста Риччоли и Франческо Мария Гримальди ещё в 1651 году^[2].

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной $F = m a$, где $a$ — кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. $F_{K} = -ma.$ Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

Математическое определение

Сила Кориолиса равна:

$\vec F_K = -m\vec{a}_K = -2 \, m \, \left[\vec \omega \times \vec v \right]$,

где $\ m$ — точечная масса, $\vec \omega$ — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, $\vec v$ — вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.

Величина $\ \vec{a}_K=2 \left[ \vec \omega \times \vec v \right]$ называется кориолисовым ускорением.

Правило Жуковского

Н. Е. Жуковским была предложена удобная для практического использования словесная формулировка определения силы Кориолиса

Ускорение Кориолиса $\vec a_K$ можно получить, спроецировав вектор скорости материальной точки в неинерциальной системе отсчёта $\vec {v}$ на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости неинерциальной системы отсчёта $\vec \omega$, увеличив полученную проекцию в $\ 2\omega$ раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Получение

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта S' со скоростью $\vec {v}_r,$ S' при этом сама движется поступательно с абсолютной линейной скоростью $\vec {v}_0$ и одновременно вращается с угловой скоростью $\vec\omega$ в инерциальной системе координат S.

Тогда линейная скорость тела в неподвижной инерциальной системе координат равна:

$\vec v= \vec {v}_0 + \left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_r$, причем $\frac{d}{dt}\vec R=\left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_r$

где $\vec R$ — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета S'. Продифференцируем данное уравнение:

$\frac{d}{dt}\vec v= \frac{d}{dt}\vec {v}_0 + \frac{d}{dt}\left[ \vec \omega \times \vec R \right] +\frac{d}{dt} \vec {v}_r.$

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

$\frac{d}{dt} \vec {v}_0 = \vec {a}_0 ,$

$\frac{d}{dt} \left[ \vec\omega \times \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \frac{d}{dt} \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec R \right] \right] + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_r \right],$

$\frac{d}{dt} \vec {v}_r = \left[ \vec\omega \times \vec {v}_r \right] + \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt} ,$

где $\vec {a}_r = \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt}$ — линейное ускорение тела относительно системы S' в предположении ее неподвижности, $\vec \varepsilon$ — угловое ускорение системы S' .

Таким образом, получаем:

$\frac{d}{dt}\vec v = \vec a=\vec {a}_0 + \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] + 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right]+ \vec {a}_r.$

Слагаемое $2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right]$ и будет кориолисовым ускорением, образованном от взаимного влияния переносного поворотного и относительного поступательного движений.

Заметим, что если система S также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины $\vec \varepsilon$ , $\vec \omega$ для системы S' в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а $\vec {a}_0$ — абсолютным ускорением поступательного движения S' относительно неподвижной инерциальной системы координат.

Заметим также, что в частности, чтобы тело относительно неинерциальной системы отсчета двигалось прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к нему силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовой силы $- 2 m\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right]$ , переносной вращательной силы $- m \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right]$ и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчета $- m \vec {a}_0$ . Составляющая же ускорения $\left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right]$ не отклонит тело от этой прямой так как является осестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нем вышеупомянутых сил получится уравнение $\left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] + \vec {a}_r = 0$, которое если умножить векторно на $\vec R$, то с учетом $\left[ \vec R \times \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right]\right]=0$ получим относительно $\vec {v}_r$ дифур $\left[ \vec R \times \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt} \right] \equiv 0$, имеющий при любых $\vec R$ и $\vec {v}_r$ общим решением $\left[ \vec R \times \vec {v}_r \right] = \vec {Const}$, которое и является уравнением такой прямой — $\left[ \vec R \times \vec {v}_r \right] = \vec {0}$ .

Физический смысл

Пусть тело движется со скоростью $\vec {v}$ вдоль прямой к центру координат инерциальной системы отсчёта (см. рис.).

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения $\ R$ и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой - ее переносной скорости.

Как мы знаем, эта скорость движения равна $\vec {v}_e = \left[ \vec \omega \times \vec R \right].$

Данное изменение будет равно:

$d \vec {v}_e= \left[ \vec\omega \times d \vec R \right].$

Проведя дифференцирование по времени, получим $\vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right]$ (направление данного ускорения перпендикулярно $\vec \omega$ и $\vec {v}$).

С другой стороны, вектор $\vec {v}$ для точки, остающейся неподвижной относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол $\omega dt$. Или приращение скорости будет

$\,\! d{v}_r=v \sin \omega dt=v \times \omega dt$ при $t \rightarrow 0,\,$ соответственно второе ускорение будет:

$\vec a= \left[ \vec\omega \times \vec v \right]$

Общее ускорение будет $\vec {a}_k=2 \left[ \vec\omega \times \vec v \right].$ Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости $\vec \omega .$ Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся $\vec v .$ Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется $\vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right],$ а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса и закон сохранения момента импульса

Если вращающаяся лаборатория, принимаемая за неинерциальную систему отсчёта, имеет конечный момент инерции, то в соответствии с законом сохранения момента импульса при движении тела по радиусу, перпендикулярному оси вращения, угловая скорость вращения будет увеличиваться (при движении тела к центру) или уменьшаться (при движении тела от центра). Рассмотрим эту ситуацию с точки зрения неинерциальной системы.

Хорошим примером может быть человек, который перемещается в радиальном направлении по вращающейся карусели (например, держась за поручень). При этом с точки зрения человека он при движении к центру будет совершать работу против центробежной силы (эта работа пойдёт на увеличение энергии вращения карусели). На него также будет действовать сила Кориолиса, которая стремится отклонить его движение от радиального направления, и противодействуя ей (прилагая поперечное усилие к поручню), он будет раскручивать карусель.

При движении от центра центробежная сила будет совершать работу над человеком (за счёт уменьшения энергии вращения), а противодействие силе Кориолиса будет тормозить карусель.

Сила Кориолиса в природе

Сила Кориолиса, вызванная вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко^[3].

Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы^[4] (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов^[5] (см. геострофический ветер): в Северном полушарии вращение воздушных масс происходит в циклонах против часовой стрелки, а в антициклонах — по часовой стрелке; в Южном — наоборот: по часовой стрелке в циклонах и против — в антициклонах. Отклонение ветров (пассатов) при циркуляции атмосферы — также проявление силы Кориолиса.

Если бы рельсы были бы идеальными, то при движении железнодорожных составов с севера на юг и с юга на север, под воздействием силы Кориолиса один рельс изнашивался бы сильнее, чем второй. В северном полушарии больше изнашивается правый, а в южном левый^[6].

Силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане. Она является причиной возникновения гироскопических волн^[7].

При идеальных условиях сила Кориолиса определяет направление закручивания воды например, при сливе в раковине. Однако идеальные условия трудно достижимы. Поэтому феномен «обратного закручивания воды при стоке» является скорее околонаучной шуткой.

См. также

• Центростремительное ускорение
• Кориолисовые расходомеры

Примечания

1. ↑ Manuel López-Mariscal Further Coriolis correlation considerations (англ.) // Physics Today. — 2012. — Vol. 65. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1764
2. ↑ Christopher M. Graney Coriolis effect, two centuries before Coriolis (англ.) // Physics Today. — 2011. — Vol. 64. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1195
3. ↑ Сила Кориолиса
4. ↑ Краткая географическая энциклопедия. Закон Бэра
5. ↑ В. Сурдин Ванна и закон Бэра // Квант. — 2003. — № 3. — С. 13.
6. ↑ С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М.: 1967.
7. ↑ Научная Сеть. Колебания и волны. Лекции.