Дискретное преобразование Хартли

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) — разновидность дискретного ортогонального тригонометрического преобразования. Во многих случаях может служить заменой дискретного преобразования Фурье. Последовательность N действительных чисел h₀, h₁, ... , h_N-1 преобразуется в последовательность N действительных чисел H₀, H₁, ... , H_N-1 с помощью дискретного преобразования Хартли по формуле:

$H_k = \sum_{n=0}^{N-1} h_n \operatorname{cas} \left(\frac{2 \pi}{N}nk\right), \quad \quad k = 0, \dots, N-1$

Обратное дискретное преобразование Хартли задаётся формулой:

$h_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} H_k \operatorname{cas} \left(\frac{2 \pi}{N}nk\right), \quad \quad n = 0, \dots, N-1$

где

$\operatorname{cas} x = \cos x + \sin x$

Следует отметить, что в отличие от дискретного преобразования Фурье вычисление прямого и обратного преобразований Хартли осуществляется по формулам, вид которых совпадает с точностью до множителя 1\N. А также прямое преобразование Хартли дает ряд действительных чисел.

Имеют место следующие формулы перехода от ДПФ к ДПХ и наоборот:

$H_k = \operatorname{Re} F_k - \operatorname{Im} F_k$

$F_k = \frac {1}{2} (H_{N-k} + H_k) + i \frac {1}{2} (H_{N-k} - H_k)$

См. также

• Дискретное преобразование Фурье
• Дискретное комплексное преобразование