Росток (комплексный анализ)

Формальное определение

Рассмотрим функции, заданные в точке O и какой-нибудь её окрестности (не предполагается, что эта окрестность фиксирована для этих функций — для разных функций она может быть разная и общего пересечения у них может не быть, кроме самой точки О). Можно ввести на таких функциях отношение эквивалентности: функция f эквивалентна функции g, если они совпадают в какой-нибудь окрестности точки О, и класс эквивалентности функции f называется "pостком функции f в точке О ".

Можно представлять себе, что росток функции в точке О — это функция, заданная в инфинитезимальной (бесконечно малой) окрестности точки О — той, которая «присутствует» в любой окрестности точки. При этом эта «окрестность» не является множеством, но является инфинитезимальным множеством — локусом точки О. Тогда эквивалентность функций, введённую выше, можно сформулировать так: две функции эквивалентны, если они совпадают в локусе точки О.

В зависимости от класса регулярности рассматриваемых функции можно рассматривать и соответствующие классы регулярности ростков — ростки непрерывных функций, ростки дифференцируемых функций, ростки аналитических функций, ростки постоянных функций, и т. д. Также понятие ростка распространяется на векторные поля, дифференциальные формы, и тоже — непрерывные, разрывные, дифференцируемые, и т. д. В ростке учитываются только локальные свойства соответствующего объекта, зависящие от произвольно малой окрестности данной точки. Например, можно корректно ввести понятие ростка меры, но нельзя корректно ввести понятие ростка вероятностной меры, чтобы не потерять при этом специфику такой меры.Процедура перехода от какого-либо распределённого объекта к его ростку в точке называется локализацией этого объекта в данной точке.

Если операции над функциями инвариантны относительно их локализации, тогда соответствующие операции допустимы и над ростками. Например, ростки функций можно складывать, умножать, дифференцировать (если только рассматриваются ростки дифференцируемых функций), но нельзя производить операции, подобные операции свёртки.

Пространство ростков в точке О аналитических функций естественным образом наделяется структурой дифференциальной алгебры над полем С (в нём определены операции сложения ростков, умножения ростков на ростки и на комплексные числа, а также дифференцирование ростков).

Понятие ростка по своей сути является топологическим, но для ростков аналитических функций каждому ростку в точке О можно взаимно однозначно сопоставить алгебраический объект — степенной ряд (ряд Тейлора этой функции) с ненулевым радиусом сходимости. Взаимная однозначность этого соответствия есть содержание теоремы единственности для аналитических функций — если функции имеют одинаковые ряды Тейлора в точке О, то они в некоторой окрестности точки О совпадают, то есть имеют один и тот же росток. Восстанавливается функция по своему ряду Тейлора операцией суммирования степенного ряда.Таким образом, коэффициенты ряда Тейлора однозначно задают росток аналитической функции.(Для сравнения: степенной ряд Тейлора определён также и для бесконечно дифференцируемых функций, однако теперь этот ряд не определяет росток такой функции однозначно).

Топология в множестве ростков

Рассмотрим два ростка $g$ и $h$. Если для их оснований выполняется соотношение порождает росток $h$ (записывается как $g\; e\; h$). Симметричность этого отношения следует из теоремы единственности, следовательно, данное отношение на множестве ростков $mathcal\; G$ можно рассматривать как отношение эквивалентности (но не как отношение порядка). Классы эквивалентности ростков по этому отношению совпадают с "действительно различными " аналитическими функциями.

На множестве $mathcal\; G$ можно определить топологию с помощью системы окрестностей вида