Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция $y=x^a$, где $a$ (показатель степени) — некоторое вещественное число^[1]. К степенным часто относят и функцию вида $y=kx^a$, где k — некоторый масштабный множитель.^[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при $x>0$. Если $a>0$, то функция определена также и при $x=0$, иначе нуль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

• Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При $a=1$ получается функция $y=kx$, называемая прямой пропорциональной зависимостью.
• Графики функций вида $y=x^{-n}$, где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При $a=-1$ получается функция $y=\frac {k}{x}$, называемая обратной пропорциональной зависимостью.
• Если $a=\frac {1} {n}$, то функция есть арифметический корень степени n.

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: $T=kA^{3/2}$ (полукубическая парабола).

• 

  Параболы порядка n:     $n=0$      $n=1$      $n=2$      $n=3$      $n=4$      $n=5$
• 

  Гиперболы порядка n:     $n=-1$      $n=-2$      $n=-3$

Свойства

См. также: Возведение в степень

• Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция $~y=\sqrt{x}$ определена в нуле и его правой окрестности, но её производная $~y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в нуле не определена.
• В интервале $(0, \infty)$ функция монотонно возрастает при $a>0$ и монотонно убывает при $a<0.$ Значения функции в этом интервале положительны.
• Производная функции: $\left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}.$
• Неопределённый интеграл:
  • Если $a \ne -1$, то $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
  • При $a = -1$ получаем: $\int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C$

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой^[3]:

$y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}$

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение $i^i$ равно $~e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}},$ где k — произвольное целое, а его главное значение есть $~e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.$

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1. При натуральном показателе степени функция $y=z^n$ однозначна и n-листна^[4].
2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь $\frac{p}{q}$, то у функции будет q различных значений^[3].

См. также

• Возведение в степень
• Логарифм
• Многочлен

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Ссылки

• Степенная функция.

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
3. ↑ ^{1 2} Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
4. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.