Степенная функция

Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция y=x^a, где a (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида y=kx^a, где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Содержание

Вещественная функция

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x>0. Если a>0, то функция определена также и при x=0, иначе нуль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: T=kA^{3/2} (полукубическая парабола).

Свойства

См. также: Возведение в степень
  • Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция ~y=\sqrt{x} определена в нуле и его правой окрестности, но её производная ~y=\frac{1}{2\sqrt{x}} в нуле не определена.
  • В интервале (0, \infty) функция монотонно возрастает при a>0 и монотонно убывает при a<0. Значения функции в этом интервале положительны.
  • Производная функции:  \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}.
  • Неопределённый интеграл:
    • Если a \ne -1, то  \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C
    • При a = -1 получаем:  \int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой[3]:

 y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение i^i равно ~e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, где k — произвольное целое, а его главное значение есть ~e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция  y=z^n однозначна и n-листна[4].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь \frac{p}{q}, то у функции будет q различных значений[3].

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Степенная функция" в других словарях:

  • Степенная функция —         функция f (x) = ха, где а фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а… …   Большая советская энциклопедия

  • СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа …   Большой Энциклопедический словарь

  • СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — ф ция вида у = ахn, где а и п действит. числа, С. ф. охватывает большое число закономерностей в природе. На рис. изображены графики С. ф. для п = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. К ст. Степенная функция …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • степенная функция — функция вида у=axn, где а и n  любые действительные числа. На рисунке изображены графики степенной функции для n = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. * * * СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа …   Энциклопедический словарь

  • степенная функция — laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. power function vok. Potenzfunktion, f rus. степенная функция, f pranc. fonction puissance, f …   Automatikos terminų žodynas

  • СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция у = х a, где а постоянное число. Если а целое число, то С. ф. частный случай рациональной функции. При комплексных значениях хи аС. ф. неоднозначна, если а нецелое число. При фиксированных действительных . и а число х а является степенью …   Математическая энциклопедия

  • СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида у = ахn, где а и п любые действительные числа. На рис. изображены графики С. ф. для n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • функция спроса — Функция, которая показывает, как меняется объем продаж конкретного продукта в зависимости от его цены при равных маркетинговых усилиях по его продвижению на рынок. [http://www.lexikon.ru/dict/fin/a.html] функция спроса Функция, отражающая… …   Справочник технического переводчика

  • Функция спроса — [demand function] функция, отражающая зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги (потребительские блага) от комплекса факторов, влияющих на него. Более узкая трактовка: Ф.с.выражает взаимозависимость между спросом на товар и ценой… …   Экономико-математический словарь

  • Функция — у = 1 + x + х2 + х3 + ... определена для вещественных или комплексных значений х, модуликоторых меньше единицы. Ф. вида y = p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... +рn 1x + pn, где коэффициенты, р0, р1, р2, ..., рn данные числа наз.целою функцией n ой… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

Другие книги по запросу «Степенная функция» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.