Касательное расслоение

Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Касательное расслоение гладкого многообразия $M$ — есть векторное расслоение над $M$, слой которого в точке $x\in M$ является касательным пространством $T_xM$ в точке $x$. Касательное расслоение обычно обозначается $TM$.

Элемент тотального пространства $TM$ — это пара $(x,\;v)$, где $x\in M$ и $v\in T_xM$. Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность $TM$ равна удвоенной размерности $M$.

Топология и гладкая структура

Если $M$ — $n$-мерное многообразие, то оно обладает атласом карт $(U_\alpha,\;\varphi_\alpha)$, где $U_\alpha$ — открытое подмножество $M$ и

$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\R^n$

— гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на $U$ порождают изоморфизм между $T_xM$ и $\R^n$ для любого $x\in U$. Можно определить отображение

$\tilde\varphi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha)\to\R^{2n}$

как

$\tilde\varphi_\alpha(x,\;v^i\partial_i)=(\varphi_\alpha(x),\;v^1,\;\ldots,\;v^n).$

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на $TM$.

Подмножество $A$ из $TM$ открыто тогда и только тогда, когда $\tilde\varphi_\alpha(A\cap\pi^{-1}(U_\alpha))$ — открытое в $\R^{2n}$ для любого $\alpha$. Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств $TM$ и $\R^{2n}$, поэтому они образуют карты гладкой структуры на $TM$. Функции перехода на пересечениях карт $\pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$ задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств $\R^{2n}$.

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение $n$-мерного многообразия $M$ можно определить как векторное расслоение ранга $n$ над $M$, функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

• Простейший пример получается для $\R^n$. В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции $\R^{2n}\to\R^n$.
• Единичная окружность $S^1$. Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно $S^1\times\R$. Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере $S^2,$ это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой $R$ и единичной окружности $S^1$, которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии $M$, значение которой в каждой точке — вектор, касательный к $M$, то есть гладкое отображение

$V\colon M\to TM$

такое, что образ $x$, обозначаемый $V_x$, лежит в $T_xM$ — касательном пространстве в точке $x$. На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на $M$ — это сечение касательного расслоения над $M$.

Множество всех векторных полей над $M$ обозначается $\Gamma(TM)$. Векторные поля можно складывать поточечно:

$(V+W)_x = V_x + W_x$

и умножать на гладкие функции на $M$

$(fV)_x = f(x)V_x,$

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей $\Gamma(TM)$ получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на $M$ (обозначается $C^\infty(M)$).

Если $f$ есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля $X$ даёт новую гладкую функцию $Xf$. Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh$.
• Правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot(Xh)$.

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на $M$ — это локальная сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве $U$ из $M$, при этом в каждой точке из $U$ задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на $M$ образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над $M$.

Каноническое векторное поле на TM

На каждом касательном расслоении $TM$ можно определить каноническое векторное поле. Если $(x,\;y)$ — локальные координаты на $TM$, то векторное поле имеет вид

$V=\left. y^i\frac{\partial}{\partial y^i}\right|_{(x,\;y)}.$

$V$ является отображением $V\colon TM\to TTM$.

Существование такого векторного поля на $TM$ можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Распределение — подрасслоение касательного расслоения
• Вертикальное расслоение
• Горизонтальное расслоение
• Кокасательное расслоение

Ссылки

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• John M. Lee Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3
• Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2
• Todd Rowland Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.