Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

$\square u\equiv \Delta u-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2},$

где $\Delta$ — оператор Лапласа, $c$ — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2},$

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства, как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «$n$-мерный»).

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно видеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2 \Theta}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left(\sin\Theta\frac{\partial u}{\partial\Theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\Theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2};$

в цилиндрических координатах:

$\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^2\frac{\partial u}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2};$

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

$\square u\equiv\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\frac{\partial u}{\partial x^\mu}\right),$

где $g$ — определитель матрицы $\|g_{\mu\nu}\|$, составленный из коэффициентов метрического тензора $g_{\mu\nu}$.