- Цепная линия
-
Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.
Уравнение в декартовых координатах:
(о функции см. Гиперболический косинус).
Содержание
Свойства
- Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Именно такая поверхность, проходя через две окружности, имеет минимальную площадь.
- Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):
- Радиус кривизны:
- Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:
Применения
Арка
Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.
На арке в Сент-Луисе написана её формула в футах:
В метрах это
Мосты
Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.
Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе чем цепной линии[1]. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.
Примечания
- ↑ Paul Kunkel Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Архивировано из первоисточника 6 августа 2012. Проверено 24 июля 2012.
Литература
- Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 19, § 19. М.-Л.: Гостехиздат, 1955.
Категории:- Трансцендентные кривые
- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.