Цепная линия


Цепная линия
Висящая цепь образует цепную линию
Цепная линия при различных значениях параметра

Цепна́я ли́ния  — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

y = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} ) = a ~ \operatorname{ch} {x \over a}

(о функции \operatorname{ch} см. Гиперболический косинус).

Содержание

Свойства

  • Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Именно такая поверхность, проходя через две окружности, имеет минимальную площадь.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):
    s = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = \sqrt{y^2-a^2}
  • Радиус кривизны:
    R = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} = {y^2 \over a}
  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:
    S = a^2 \left(\operatorname{sh}{x_2 \over a} - \operatorname{sh}{x_1 \over a}\right) = a \left(\sqrt{y_2^2-a^2} - \sqrt{y_1^2-a^2}\right)

Применения

Арка

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

На арке в Сент-Луисе написана её формула в футах:

y = -127{,}7^\prime \cdot \operatorname{ch}({x / 127{,}7^\prime}) + 757{,}7^\prime

В метрах это

y = -38{,}92 \cdot \operatorname{ch}({x / 38{,}92}) + 230{,}95

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе чем цепной линии[1]. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.

Примечания

  1. Paul Kunkel Hanging With Galileo  (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Архивировано из первоисточника 6 августа 2012. Проверено 24 июля 2012.

Литература

  • Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 19, § 19. М.-Л.: Гостехиздат, 1955.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Цепная линия" в других словарях:

  • ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжелая нить, концы которой закреплены в двух точках (примерно такую форму принимает цепь, телеграфный провод, провисающие под действием силы тяжести). Цепная линия… …   Большой Энциклопедический словарь

  • цепная линия — плоская кривая (рис.), форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках (примерно такую форму принимают цепь, телеграфный провод, провисающие под действием силы тяжести). Цепная линия … …   Энциклопедический словарь

  • ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская кривая (см. рис.), форму к рой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы к рой закреплены в двух точках. Ц. л. трансцендентная кривая; её ур ние у = сhx:, где chx гиперболический косинус (см. Гиперболические функции) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • цепная линия — grandininė kreivė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. catenary; catenary curve; funicular curve vok. Katenoide, f; Kettenlinie, f; Seilkurve, f rus. веревочная кривая, f; веревочная линия, f; цепная линия, f pranc. courbe funiculaire, f;… …   Fizikos terminų žodynas

  • ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская кривая (рис.), форму к рой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы к рой закреплены в двух точках (примерно такую форму принимают цепь, телеграфный провод, провисающие под действием силы тяжести). Ц. л.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Цепная линия — или катенария кривая линия, выражаемая уравнением: у = k cos(ix/k), где cos(ix/k) = ½(ex/k + e x/k) Видом своим она несколько напоминает параболу с вертикальною осью и вершиною, обращенною вниз. В вершине Ц. линии ордината равна k. Ординаты ее… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Цепная линия —         см. Линия …   Большая советская энциклопедия

  • ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская трансцендентная кривая, форму к рой принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными концами (см. рис.). Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: Длина дуги, отсчитываемая от точки… …   Математическая энциклопедия

  • цепная линия (мат.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN catenary …   Справочник технического переводчика

  • цепная линия укреплений — непрерывная линия укреплений XVIII XIX вв., которая состояла из реданов или бастионов, соединенных куртинами …   Фортификационный словарь