Формула Циолковского

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

$V = I \cdot \ln \left( \frac{M_{1}}{M_{2}} \right)$,

где:

$V$ — конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

$I$ — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

$M_{1}$ — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

$M_{2}$ — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года (22 мая по григорианскому календарю).^[1]

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810—1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

$m \cdot \frac {d\vec{V}}{dt}- \vec{u} \cdot \frac {dm}{dt}=0$,

в котором $m$ — масса точки;

$V$ — скорость точки;

$u$ — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс $I$^[2]

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

$M1_{i}$ — масса заправленной $i$-ой ступени ракеты;

$M2_{i}$ — масса $i$-ой ступени без топлива;

$I_{i}$ — удельный импульс двигателя $i$-ой ступени;

$M_{0}$ — масса полезной нагрузки;

$N$ — число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

$V = \sum_{i=1}^{N} I_{i} \cdot \ln \left( \frac{M_{0}+{\sum_{j=i}^{N}} M1_{j}}{M_{0}+M2_{i}+{\sum_{j=i+1}^{N}}M1_{j}}\right)$

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и др.

В таблице 1 приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне.

Таблица 1^[3]

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5[4]

Как видно из таблицы 1, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[5]

$\Delta v_{g}\ = \int\limits_{0}^{t} g(t)\cdot cos(\gamma (t))\,dt$,

где $g(t)$ и $\gamma (t)$ — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение $\,cos(\gamma (t))$ близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

$\Delta v_{a}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {A(t)}{m(t)} \,dt$,

где $A(t)$ — сила лобового аэродинамического сопротивления, а $m(t)$ — текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты Сатурн V, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$\Delta v_{u}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {F(t)}{m(t)} \cdot(1 - cos(\alpha (t))) \,dt$,

где $F(t)$ — текущая сила тяги двигателя, $m(t)$ — текущая масса ракеты, а $\alpha (t)$ — угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты Сатурн V приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$\frac {M_{1}} {M_{2}} = e^{V/I}$    (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

$M_{0}$ — масса полезного груза;

$M_{k}$ — масса конструкции ракеты;

$M_{t}$ — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

$M_{k}=\frac {M_{t}} {k}$,    (2)

где $\,k$ — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента $\,k$. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения $\,k$).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$\frac {M_{0}+ M_{t}+M_{t}/k} {M_{0}+M_{t}/k}=e^{V/I}$,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M_{t}=\frac {M_{0} \cdot k \cdot (e^{V/I}-1)}{k+1- e^{V/I}}$    (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента $\,k$.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть знаменатель этой формулы:

$\,\!k+1- e^{V/I}>0$  , иначе говоря,   $\,k+1>e^{V/I}$    (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости $\,V$ при заданных значениях удельного импульса $\,I$ и коэффициента $\,k$. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой $\,M_{0}=10$ т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс $\,I=2900$ м/c. Коэффициент $\,k=9$ — это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь — вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит $\,V=8359,4$ м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $\,e^{V/I}=17,86$. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двуступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. $\,V=4179,7$ м/c. На этот раз $\,e^{V/I}=4,23$, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения,

для 2-й ступени получаем:

$M_{t2}=\frac {10 \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=50,3$ т;

$M_{k2}=\frac {50,3} {9}=5,6$ т;

полная масса 2-й ступени составляет $\,55,9$ т.

Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

$M_{t1}=\frac {(10+55,9) \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=331,3$ т;

$M_{k1}=\frac {331,3} {9}=36,8$ т;

полная масса 1-й ступени составляет $\,368,1$ т;

общая масса двуступенчатой ракеты с полезным грузом составит $\,10+55,9+368,1=434$ т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит $\,323,1$ т.

Четырёхступенчатой — $\,294,2$ т.

Пятиступенчатой — $\,281$ т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты $\,k$ остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это — сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями — переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента $\,k$, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются на самом первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Примечания

1. ↑ Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20
2. ↑ Для теплового ракетного двигателя это справедливо при равенстве давлений на срезе сопла и в окружающей среде. Формула Циолковского, впрочем, сохраняет свою справедливость, независимо от соблюдения этого условия.
3. ↑ Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики SATURN V APOLLO. Реферат ВИНИТИ М 1973.
4. ↑ К этой величине добавляется скорость вращения Земли на широте мыса Канаверал, с которого производились пуски по программе «Аполлон» — 406 м/с. Таким образом корабль Аполлон стартовал к Луне со скоростью 11 000 м/с. На высоте 500 км, (апогей околоземной орбиты, с которой корабль переходил на траекторию полёта к Луне) вторая космическая скорость составляет 10 772 м/c.
5. ↑ Феодосьев В., Синярев Г. Введение в ракетную технику. 2 — изд., перераб. и дополн. М Оборонгиз 1961 г.