Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида $a+\varepsilon *b$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, и $\varepsilon^2=0$. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел $a$ и $b$. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $a*\varepsilon$. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами^[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида $(a,\;b)$, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

$\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)$

$\ (a_1,\;b_1) * (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)$

Числа вида $(a,\;0)$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число $(0,\;1)$ обозначается $\varepsilon$, после чего определяющие тождества примут вид:

$\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon$

$(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),$

$(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).$

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо $\R[x]/(x^2)$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом $x^2$.

Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$. Тогда произвольное дуальное число примет вид

$a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

$\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x$

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots$

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

$\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x$

$\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1$

Арифметические операции

• Сложение

  $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$

• Вычитание

  $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(a-c)+(b-d)\varepsilon$

• Умножение

  $(a+b\varepsilon)*(c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$

• Деление

  $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Корни

Корень n-й степени из числа вида $a+\varepsilon b$ определяется как:

$\sqrt[n]{a}+\frac{\varepsilon b} {n \sqrt[n]{a^{n-1}}}$

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию $f(x)$, область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

$f(x+y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x)$

Почему это так  

Как известно,

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$

то есть

$(x+y\varepsilon)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} (y\varepsilon)^k$ (1)

но, так как все степени $\varepsilon$ больше единицы равны нулю, то

$(x+y\varepsilon)^n=x^n+nx^{n-1}y\varepsilon$

теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

$f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}$

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента

$f(x+y\varepsilon)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0)\frac{(x+y\varepsilon)^k}{k!}$

По формуле (1) получаем

$f(x+y\varepsilon)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^k+kx^{k-1}y\varepsilon}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^k}{k!}+y\varepsilon\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$

Второе слагаемое - ни что иное как разложение в ряд производной функции $f$, то есть

$f(x+y\varepsilon)=f(x)+y\varepsilon f'(x)$

Q.E.D.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) $\varepsilon$ в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если $\delta$ — бесконечно малое число, то с точностью до $o(\delta)$ кольцо гипердействительных чисел вида $\R+\R\delta$ изоморфно кольцу дуальных чисел.

Примечания

1. ↑ Дж. Хамфри Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — см. стр. 121

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024  (англ.)