Уравнение Дирака (графен)


Уравнение Дирака (графен)


Графен
\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla
Уравнение Дирака (графен)
Введение ...

Математическая формулировка ...

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и описываются уравнением Дирака [1].

Содержание

Вывод

Зонная структура

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид


H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}(\textbf{r}_i)a(\textbf{r}_i+\textbf{v}_j),\qquad (1.1)

где t — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы a^{\dagger}(\textbf{r}_i) и b^{\dagger}(\textbf{r}_i) операторы рождения действующие на треугольных подрешётках кристалла ΛA и ΛB соответственно, a(\textbf{r}_i) и b(\textbf{r}_i)операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:


[a(\textbf{r}_i),a^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=[b(\textbf{r}_i),b^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad (1.2)

Шесть векторов \textbf{u}_i и \textbf{v}_i указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями


\textbf{u}_1=(-d,0),\,\textbf{u}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{u}_3=\left(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\qquad (1.3)

\textbf{v}_1=(d,0),\,\textbf{v}_2=\left(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{v}_3=\left(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).\qquad (1.4)

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения


a(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a}(\textbf{k}),b(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b}(\textbf{k}),\qquad (1.5)

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде


H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})\tilde{H}\tilde{\psi}(\textbf{k}),\qquad (1.6)

где приняты следующие обозначения:


\tilde{\psi}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}(\textbf{k}),\tilde{b}(\textbf{k})\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}^{\dagger}(\textbf{k}),\tilde{b}^{\dagger}(\textbf{k})\right),\qquad (1.7)

и


\tilde{H}=\left(
                \begin{array}{cc}
                  0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\
                  -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\
                \end{array}
              \right).    \qquad (1.8)

Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму


\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j),\qquad (1.9)

которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде


\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}^{'}(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}),\qquad (1.10)

или


\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}).\qquad (1.11)

Используя соотношение


\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=(2\pi)^2\delta\left(\textbf{k}^{'}-\textbf{k}\right),\qquad (1.12)

получим после интегрирования по \textbf{k}^{'} выражение


\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}).\qquad (1.13)

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения


E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left(e^{-ik_xd}+2e^{ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(e^{ik_xd}+2e^{-ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=

\pm t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(1+2e^{-i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_xd\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\right]},\qquad (1.14)

которые определяют зонную структуру графена.[2]

Низкоэнергетическое приближение

Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны


\left(0,\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(0,-\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.1)

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами


\textbf{K}^{\pm}=\left(0,\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.2)

Рассмотрим недиагональный элемент \tilde{H}_{12} гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d


\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa_xd}+2e^{i\kappa_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}d}{2}}\left(\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}+\kappa_y\right)\right)=\frac{3t}{2 }(i\kappa_x\pm\kappa_y).\qquad (2.3)

Для \tilde{H}_{21} разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде


\left(
 \begin{array}{cc}
  H^{+} & 0 \\
  0 & H^{-} \\
 \end{array}
\right)=\hbar v_F(\alpha^1\kappa_x+\alpha^2\kappa_y), \qquad (2.4)

где фермиевская скорость v_F=3td\hbar^{-1}/2 и


\alpha^1=-\left(
 \begin{array}{cc}
  \sigma^2 & 0 \\
  0 & \sigma^2 \\
 \end{array}
\right),\,\alpha^2=\left(
 \begin{array}{cc}
  \sigma^1 & 0 \\
  0 & -\sigma^1 \\
 \end{array}
\right). \qquad (2.5)

Здесь σ1 и σ2матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене


H=-i\hbar v_F(\alpha^1\partial_x+\alpha^2\partial_y). \qquad (2.6)

Решением уравнени Дирака для графена Hψ = Eψ будет четырёхкомпонентный столбец вида


\psi=(\psi_A^{+},\psi_B^{+},\psi_A^{-},\psi_B^{-})^{T}, \qquad (2.7)

где индексы A и B соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.[2]

Произвольный поворот системы координат

Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол α системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида[3]


H_{\pm}=-i\hbar v
\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & e^{\pm i\alpha}(i\partial_x\pm \partial_y) \\
    e^{\mp i\alpha}(-i\partial_x\pm \partial_y) & 0 \\
  \end{array}
\right),\qquad (3.1)

из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде[4]


H_{\pm}=-i\hbar v
\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & \pm\partial_x-i\partial_y \\
    \pm\partial_x+i\partial_y & 0 \\
  \end{array}
\right),\qquad (3.2)

который получается из (3.1) если взять угол α = − π / 2.

Решение уравнения Дирака

Рассмотрим гамильтониан для одной долины

H_{+}=-i\hbar v\begin{pmatrix} 0 & i\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y}\\ -i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}.\qquad (4.1)

Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

\Psi=\begin{pmatrix} \phi\\ \chi\end{pmatrix}.\qquad (4.2)

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

\left\{\begin{matrix} -i\hbar v\left(i\frac{\partial\chi}{\partial x}+\frac{\partial\chi}{\partial y}\right)=E\phi &  \\ -i\hbar v\left(-i\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)=E\chi & \end{matrix}\right.\qquad (4.3)

Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2v^2}\phi,\qquad (4.4)

решением которого будет плоская волна

\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.5)

Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

E=\pm\hbar vk_F=\pm\hbar v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.\qquad (4.6)

Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

\chi=-i\frac{\hbar v \left(k_x+ik_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}=-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F }{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.7)

Поэтому волновая функция для K + долины запишется в виде

\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F}{E}\end{pmatrix}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.8)

Сноски

  1. Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) DOI:10.1038/nature04233
  2. 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787, 241 (2007) DOI:10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Препринт
  3. Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005) DOI:10.1143/JPSJ.74.777
  4. Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) DOI:10.1142/S0217979207038022

Wikimedia Foundation. 2010.