Дифференциальная алгебра


Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной C(t), операции дифференцирования соответствует дифференцирование по t.

Содержание

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

\partial\colon R \to R

удовлетворяющими правилу произведения

\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)

для любых r_1, r_2 \in R. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило d(xy) = x dy + y dx может не выполняться. В безындексной форме записи, если M\colon R \times R \to R — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

\partial \circ M = 
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + 
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).

где f\otimes g — отображение пары (x,y) в пару (f(x),g(y)).

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

\partial (u + v) = \partial u + \partial v

Полем констант дифференциального поля K называется  k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых k \in K и x \in A:

\ \partial (kx) = k \partial x

В безындексной форме записи, если \eta \colon K\to A — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = 
M \circ (\eta \times \partial)

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых a,b \in K и x,y \in A:

\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)

и

\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли L — это линейное отображение \delta \colon L \to L, удовлетворяющее правилу Лейбница:

\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]

Для любого a \in L,~\operatorname{ad}(a) — дифференцирование на L, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если A — алгебра с единицей, то \partial(1)=0, так как \partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1). Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле \Bbb{Q}(t) существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством \partial(t)=1: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по t. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)

В дифференциальном поле \Bbb{Q}(t) нет решения дифференциального уравнения \partial(u) = u , но можно расширить его до поля, содержащего функцию e^t, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.

Умножение в этом кольце определяется как

(r\xi^m)(s\xi^n) = 
\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.

Здесь {m \choose k} — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}

следующее из

{-1 \choose n} = (-1)^n

и

r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).

Градуированное дифференцирование

Пусть A — градуированная алгебра, D — однородное линейное отображение, d = \left| D \right|. D называется однородной производной, если D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b), \epsilon = \pm1 при действии на однородные элементы A. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым \epsilon.

Если \epsilon = 1, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если \epsilon = -1, то D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b), для нечётных \left| D \right|. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть  \mathbb{Z}_2 -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

  • Дифференциальная теория Галуа
  • Кэлеров дифференциал
  • Дифференциально замкнутое поле
  • D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

  • Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
  • И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
  • Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
  • Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
  • А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Дифференциальная алгебра" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий объекты, в к рых, наряду с операциями сложения и умножения, имеются операции дифференцирования: дифференциальные кольца, дифференциальные модули, дифференциальные поля, дифференциальные алгебраич. многообразия. Один из… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — алгебра А над полем (кольцом) К, являющаяся дифференциальным кольцом;. при этом каждое дифференцирование ддолжно коммутировать с умножениями на элементы из К, т. е. д(aх) aд(х), где О. А. Иванова …   Математическая энциклопедия

  • Алгебра (значения) — Алгебра  раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики  раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… …   Википедия

  • Дифференциальная геометрия и топология — Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология  два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела… …   Википедия

  • Алгебра — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра (от араб. الجبر‎‎, «аль джабр»  восполнение[1])  раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово… …   Википедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальная теория Галуа — В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи. Содержание …   Википедия

  • Дифференциальная геометрия — и дифференциальная топология  два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в физике, особенно в общей… …   Википедия

  • Дифференциальная топология — Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология  два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА — 1) Д. ф. степени р, р форма на дифференцируемом многообразии М р раз ковариантное тензорное поле на М. Ее можно интерпретировать также как р линейное (над алгеброй F(M)гладких вещественных функций на М)отображение F(M), где есть Р(М) модуль… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Дифференциальная алгебра» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.