Дизъюнктное объединение


Дизъюнктное объединение

Неформально говоря, дизъюнктное объединение — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошёл в объединение.

Содержание

Определение

Пусть \{A_i | i \in I\} — семейство множеств, перечисленных индексами из I. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\}

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами (x, i). Таким образом i есть индекс, показывающий, из какого множества A_i элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств A_i канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

При \forall i, j \in I: i \neq j множества A_i^* и A_j^* не имеют общих элементов, даже если A_i \cap A_j \neq \varnothing. В вырожденном случае, когда множества A_i \forall i \in I равны какому-то конкретному A, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества A и множества I, то есть

\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.

Использование

Иногда можно встретить обозначение A + B для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

\sum_{i\in I}A_i.

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если C — это семейство множеств, то

\bigcup_{A \in C} A

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых A и B из C выполняется следующее условие:

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Литература

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Дизъюнктное объединение" в других словарях:

  • Размеченное объединение — Неформально говоря, дизъюнктное объединение это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошёл в объединение. Содержание 1 Определение 2 Использование …   Википедия

  • ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ — раздел математич. анализа и дифференциальной геометрии, в к ром изучаются свойства отображений, сохраняющихся при заменах координат в образе и прообразе отображения (или при заменах, сохраняющих нек рые дополнительные структуры); предлагается… …   Математическая энциклопедия

  • МОРСА ПЕРЕСТРОЙКА — хирургия, преобразование гладких многообразий, к рому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку;важнейшая конструкция в топологии многообразий. Пусть V гладкое п мерное многообразие (без… …   Математическая энциклопедия

  • Натуральное число — Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.). Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисл …   Википедия

  • Теория категорий — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла… …   Википедия

  • Хирургия (топология) — Хирургия или перестройка Морса  преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии. Конструкция… …   Википедия

  • Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

  • Декартова степень — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Декартово произведение — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Декартово произведение групп — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.